谈探究性命题的“探—拓—变”教学

摘 要：随着新课改的深入，探究性命题正逐渐被高考命题者所青睐，而且往往作为压轴性试题出现. 作为一线教师，对探究性命题的教学显得尤其重要，笔者以“探—拓—变”的方式对探究性命题的教学作以下尝试.

关键词：探究；拓展；变式

随着新课改的深入，探究性命题正逐渐被高考命题者所青睐，而且往往作为压轴性试题出现. 作为一线教师，对探究性命题的教学则显得尤其重要，笔者从“探—拓—变”的方式对探究性命题的教学作以下尝试，供参阅.

引例：已知椭圆方程为x2+2y2=1，设A为椭圆长轴的左端点，过A作互相垂直的两直线AB，AC分别交椭圆与B，C两点，则直线BC是否过定点？若过定点，求出定点；不过定点，则说明理由.

[O][x][y][C][A][B]

[?] 策略探究

探究1：从特殊做起，归纳、猜想、证明

解析：取直线AC的斜率为1，则直线AB的斜率为-1，求出直线BC方程：x= -，再取直线AC斜率为2，则直线AB斜率为-，求出直线BC方程：y= -x-，得两直线交点为

，猜测直线BC恒过

. 下面证明过

的直线交椭圆B，C两点，恒有AB⊥AC.

代入韦达定理可得kABkAC=-1，则AB⊥AC，得证.

探究2：数形结合，等价转化

解析：由图形的对称性可知，若过定点，则此定点必在x轴上，问题转化为过x轴上一定点的直线交椭圆于B，C两点，恒有AB⊥AC. 设定点为（m，0）， B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC的方程为y=k（x-m），联立x2+2y2=1，消去y，得（2k2+1）x2-4k2mx+2k2m2-1=0，得x1+x2

探究3：题后反思，优化解答

解析：设B（x1，y1），C（x2，y2），设BC的方程为x=my+t，由x=my+t，

评注：英国数学家休厄尔有句名言：“若无某种大胆的猜测，一般是作不出知识的进展.” 探究性命题从特殊做起，归纳、猜想、证明是较常用的方法，数形结合、等价转化的数学思想也是解决问题的重要手段，问题的解决更需要题后反思，优化策略，从而为我们今后碰到类似问题不再束手无策做好准备.

[?] 命题拓展

由以上策略探究过程中的kAB·kAC= -1，得以下拓展：

拓展1：已知椭圆方程为x2+2y2=1，设A为椭圆长轴的左端点，过A作两直线AB，AC分别交椭圆与B，C两点，直线AB，AC的斜率乘积为1，则直线BC是否过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，则说明理由. （类似探究3可得定点（-3，0））

拓展2：已知椭圆方程为x2+2y2=1，设A为椭圆长轴的左端点，过A作两直线AB，AC分别交椭圆与B，C两点，直线AB，AC的斜率乘积为p

p≠

，则直线BC是否过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，则说明理由. （类似探究3可得定点

）.

拓展3：已知圆锥曲线方程，设A为圆锥曲线上一定点，过A作直线AB，AC分别交圆锥曲线与B，C两点，直线AB，AC的斜率乘积为某一常数，一般情况下，直线BC过定点. （证略）

[?] 变式应用

变式1：已知椭圆方程为x2+2y2=1，设A为椭圆长轴的左端点，过A作互相垂直的两直线AB，AC分别交椭圆与B，C两点，过A作AD⊥BC，垂足为D，试求点D的轨迹方程. （提示：BC过定点P

， 又AD⊥BC，故点D在以AP为直径的圆上（去掉点A）， 故点D的轨迹方程为

变式2：已知A（-2，0）是椭圆C：+=1（a>b>0）与圆F：（x-c）2+y2=9的一个交点，且圆心F是椭圆的一个焦点. （1）求椭圆C的方程；（2）过F的直线交圆于P，Q两点，连结AP，AQ，分别交椭圆于M，N两点，试问直线MN是否过定点？若过定点，请说明理由. （提示：第2小题数形结合可看出，实质与引例类似，可得过

变式3：已知定点M（x0，y0）在抛物线m：y2=2px（p>0）上，动点A，B∈m且·=0. 求证：弦AB必过一定点. （提示：类似引例探究，可得定点为（x0+2p，-y0））

变式4：已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，且有一个顶点的坐标为（0，1）. （1）求该椭圆的方程；（2）如图，过点P

的直线l交椭圆于A，B两点，是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （提示：第2小题考查的实质是先探后证的思想，可得定点（0，1））

[O][x][y][P][A][B]

变式5：（2012福建省高考）椭圆E：+=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=. 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8. （1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. （提示：第2小题也可类比探究一、探究二的思想方法可得M（1，0））

笔者感悟：随着第一轮课改的深入，高考数学卷在考查学生双基的同时，多处渗透着探究性学习的思维模式.特别是探究性学习必备的思想（归纳、猜想，等价转化，特值探究，分类讨论，数形结合）在压轴性试题探究中频频出现，相信此类试题也是今后高考数学命题的一种必然趋势. 新一轮的课改又开始了，作为一线教师，在课堂上多关注探究性命题的“探究性教学”是当务之急；作为学生，对“探——拓——变”思维做一定的训练是必须的.