数形结合思想在高考数学中的应用浅析

彭再云,唐平

摘要：“形”和“数”是数学知识表现的两种重要形式。通过对数形结合思想的诠释，分析其在高考中的重要地位，并通过实际例子说明数形结合思想在几类高考题型中的应用。

关键词：数形结合；定量关系；应用浅析

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）50-0159-02

一、数形结合的诠释

所谓数形结合，是根据数与形之间的相互对应关系，通过数与形的相互转化，形成一种重要的思维方法来解决数学问题。它是我们分析问题、解决问题的有力工具，“形”和“数”是数学知识表现的两种重要形式，“数”准确而抽象，“形”形象而粗略。而数形结合是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于让学生更好地认识数学——用数量的抽象特征来说明图形形象直观的事实，同时又用图形直观具体的特征来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在。

二、数形结合在高考中的地位

纵观近几年的重庆高考试题，很明显，数形结合的思想在考试中占有着重举足轻重的地位。无论是从总分上看，数学高考题150分，而运用数形结合思想解决题型的分数就占了一半甚至上可能更多；还是从题量上看，数形结合题型贯穿了整张试卷中的“选择题”、“填空题”、“简答题”。从2009年至2012年重庆高考题的知识点分析，可以发现它们都存在着一定的共性，例如：函数与图像之间的相互对应关系，曲线的方程和图像之间的对应关系问题，直线与圆之间的问题等都是必考点。数形结合的题型在这四年的高考题中的考查基本保持不变，那么对于今后几年的高考题中的数形结合题型也可能是基本保持不变的，因此重视对有关数形结合题型的分析，将有助于提高解决此类问题的能力。

三、数形结合在高考中的应用分析

数形结合的方法在高中数学的教学中占有非常重要的地位，在高考试题中的覆盖面极其广泛。数与形是相互结合，相互渗透，相互转化的。通过对近四年重庆高考题的分析和总结发现，数形结合思想的应用是常考点，它存在于集合问题、函数问题、不等式问题、最值问题等各种问题中。下面仅就常见的几类问题进行浅析，对读者起抛砖引玉之用。

（一）在集合问题中的应用

在集合运算中我们通常借助数轴、集合图或韦恩图来处理多个集合之间的交、并、补集等运算。从而简化问题，使得集合之间的运算操作更为简单明了。

例1（2009重庆理.11）若A={x∈R||x|<3}，B={x∈R|2x>1}，则A∩B= 。

【解析】：因为A={x|-30}要求集合A与集合B的交集，我们就可以利用数轴来作图在图中表达出来，图中阴影部分即为所求。

很明显利用数形结合思想，这一类题很快就解答出来了A∩B=（0，3）。

（二）数形结合在二次函数中的应用

借助图象来研究给定函数的性质是我们惯用的一种方法。函数图象的几何特征和函数解析式的数量特征密切联系，体现了数与形紧密联系，不可分割的特征。

例2（2011重庆理.10）设m，k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（？摇？摇 ）

（A）-8？摇？摇（B）8？摇？摇（C）12？摇？摇（D）13

【解析】：（几何法）由题意需满足条件：k2>8mm>0m-k+2>00

（三）数形结合在立体几何中的应用

在立体几何中，用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其关系进行研究与解答，可以将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。

例3（2012重庆理.9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，■和a，且长为a的棱与长为■的棱异面，则a的取值范围[16]是（ ？摇？摇）

A.（0，■） B.（0，■） C.（1，■） D.（0，■）

【解析】该题利用三角形存在的条件来求解，利用数形结合思想，根据已知条件作出图形，出图形，如图所示，AB=■，CD=a，设E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED=■=■，同理EC=■。由构成三角形的条件知0

评注：本题考查了立体几何中四面体的线与线之间的关系，以及学生的空间想象能力。根据数形结合思想，直观清晰地想到解题思路。

（四）数形结合在极值与最值问题中的应用

例4（2011重庆理.15）设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为 。

【解析】：为了使圆C的半径取得最大值，很明显，圆心应该在x轴上，并且圆与抛物线和直线x=3同时相切。因此设圆 C的半径为r，则圆C的方程为（x+r-3）2+y2=r2，将其与y2=2x联立得：x2+2（r-2）x+9-6r=0，令判别式Δ=[2（r-2）]2-4（9-6r）=0，并由r>0，得r=■-1。

评注：本题考查了数形结合在最值问题中的应用，具体涉及直线、圆及抛物线之间的位置关系等相关知识。作出图形，直观清晰地得到解题思路，假设出圆的方程。

四、结语

数形结合的思想方法在数学的教学中占有着非常重要的地位，在高考试题中的覆盖面极其广泛。利用数形结合思想，较容易找到解决问题的方法，可避免复杂的推理和计算，少走弯路，从而将解题过程变得更为简单。毫无疑问，通过提高学生数形结合的能力，将对图形与数量组合的理解更为深刻，能促进学生解决相关问题能力的发展，从而打下坚实的数学基础。

参考文献：

[1]孙志杰.浅谈数形结合思想在三角函数中的运用[J].才智，2011，（30）.

[2]何新艺.数形结合在极值与最大值问题中的应用[J].中国校外教育中旬刊，2010，（23）.

[3]莫红梅.谈数形结合在中学数学中的应用[J].教育实践与研究，2003，（12）.

[4]薛金星.2009年全国及各省市高考试题全解（数学卷）[M].人民日报出版社，2009.

[5]薛金星.2012年全国及各省市高考试题全解（数学卷）[M].西安：陕西人民教育出版社，2011.

基金项目：重庆交通大学专业提升计划资助项目