退一步海阔天空

林俊能

古谚有云：“忍一时风平浪静，退一步海阔天空”。其原义说的是为人处世之道，实际上，数学的学习与研究又何尝不是如此？在中学数学教材中充满着具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，而学会“退”一步来看问题就是一种很重要的思想方法。华罗庚教授曾不止一次地指出：“善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学习好数学的一个诀窍。”他一语道出了退一步看问题对数学学习的重要性。

高中数学新课程标准中明确指出这几个理念：倡导积极主动勇于探索的学习方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新思维；注重提高学生的数学思维能力；强调数学的本质，注重适当的形式化。同时认知理论也表明：学习过程是一个主动建构的过程，是根据先前的认知结构主动地和有选择地知觉外在信息。数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化。它可以在学生的生活背景中找到实体模型。因此，我认为，在教学中能“退”到学生原有的认知结构，是学好新知识、解决新问题的重要保证，也是让学生实现新课程标准中提出的“体验数学发现和创造历程”这一说法的原动力，下面结合教学实际谈一些“退”的方法。

一、 新课教学中的“退”

1. 退到简单情形——具体化

数学教学的本质是思维过程的教学，学生认知的过程都遵循着从简单到复杂，从具体到抽象的过程，所以思维过程的起点应该由简单、具体开始，我们的教学也应该以此为起点。

过去的教材往往略去了过程的叙述，直接呈现出结果，而在新课程改革后，教材呈现的方式做了非常大的改进，尽可能地遵循学生的认知规律，也提供了非常丰富的具体简单的背景。例如，以新课程标准（人教版）必修1第一章及第二章中函数的教学为例，教材从三个具体的实例抽象出函数的定义，由具体函数的图象和数量关系抽象出一般函数的单调性和奇偶性，由具体的指数（对数）函数的图象抽象出一般指数（对数）函数的图象和性质…。我们在教学中只要珍惜这些教学资源，对教材体现的理念予以认同，给足学生时间，让学生经历积极探究，交流合作，主动建构的过程，我们提出的“退”就很有价值和意义。

特别地，结合我校学生的实际情况，有时还应在利用课本资源的基础上，给予更具体的铺垫，“退”到切合学生的实际认知水平。例如，在函数的单调性这节课的教学中，首先利用教材，让学生动手列表作出函数y=x2的图象，并作出初步的描述；其次考虑到学生抽象能力不高，为了能顺利地得出函数y=x2及一般函数单调性的定义，补充了在两个区间（-∞，0）和[0，+∞）中任意写出几组具体的自变量和对应的函数值；然后让学生观察数据，发现特征，从而顺利地完成一般定义的探究。这也说明退到何处才是简单情形，不应该仅仅从教材考虑，一成不变，而应考虑当前学生的认知实际，以学定教。

2. 退到熟悉的问题——类比与迁移

类比是一种重要的解题策略，是根据两个不同对象的某些相同或相似的性质，推测出这两个对象在其他性质上也有可能有相同或相似之处。它是一种合情推理方式，是由特殊到特殊的推理。常体现为把熟悉的结论迁移到相关（甚至是看似毫无关联）的问题上。在这过程中往往能体现出一个人对知识的迁移能力，联想能力及创新意识，这也是普遍联系的哲学观点的具体体现。

落实到数学教学中，要多给学生类比的机会。原因还是在于应尽可能地退到学生思维和知识的最近发展区，让学生主动探究，勇于探索，这是培养学生创新能力的很好机会。而这种机会在课堂教学中完全可以信手拈来。例如：把幂的运算法则类比到对数的运算法则；把对指数函数的研究方法类比到对数函数的研究；圆锥曲线中将椭圆的性质和研究方法类比到双曲线的性质及研究上；数列中将等差数列的定义与性质类比到等比数列的定义与性质……而平面几何与立体几何的类比更是处处可见。例如：把平面中直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方类比到空间中侧棱两两垂直的三棱锥的三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方；再如：有这样一道题目，三个平面可以把空间分成几个部分？请画图说明。这对初学者来说要完整答出有些困难。但是如果让学生类比平面几何中的问题：三条直线可以把平面分成几个部分？把对这个问题的解决过程类比过来，前面的问题就能应迎刃而解了。

当然，类比的产生有时是思维中的灵光闪现，但也并非无迹可寻。其核心就是善于把考虑的问题尽可能地“退”到熟悉的相关的问题中，寻找一个合适的类比对象，加以联系，并且不断总结经验，上升到理性认识。

二、 解题中的“退”

1. “退”到极端情形——特殊化

数学中的许多一般性质往往会通过一些数量上达到极端值的对象反映出来。这就使得我们可以把它们作为重点考察对象，在解题时通过“退”到这些极端情形，来寻找问题的突破点和答案。这就是特殊与一般的辩证观点的体现。

这种“退”的策略在数学解题中往往起着重要的作用。在解题中我们可以结合具体问题的背景，从一些特殊的对象（特殊点、特殊数据、特殊图形）和特殊位置入手加以探究，经常可以收到奇效。如：

例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则■=

解析 取a=3，b=4，c=5，则a，b，c符合成等差数列的条件，且∠C=90°

∴cosA=■，cosC=0∴原式=■=■

例2 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线a交抛物线于A，B两点，则■+■=（ ）

A、 2p B、■ C、 ■ D、■

解析 考虑直线a的特殊位置，当直线a垂直于抛物线的对称轴时，直线a的方程为x=■，易得|AF|=|BF|=p，∴■+■=■，选D。

当然，以上几个例题的解答相对只注重得到结论。我们在实际的教学时，如果有条件，不能满足于到此为止，应当继续做一般性的探究，以培养学生思维的深刻性。这也符合新课程标准中“强调数学的本质，注重适当的形式化”这一理念。比如对例2做一般性的讨论，原来所考虑的特殊位置本身就是一般解法的一部分。

上面所举的例题都是客观题，其实“特殊化“的思想方法在解综合题时也同样能发挥作用。如：

例3 （2006·辽宁） 已知f（x）=xn，fk（x）=■其中k≤n（n，k∈Z+ ），设F（x）=C0n f0（x2）+C1n f1（x2）+…+Ckn fk（x2）+Cnn fn（x2），x∈[-1，1]

（1）略

（2）证明：对任意的x1，x2∈[-1，1]，恒有|F（x1）-F（x2）|

≤2n-1（n+2）-n-1

解析 本题综合性较强，难度大。先求出函数F（x）的表达式，再利用该表达式得到函数F（x）的单调性和奇偶性，然后的关键点就是对|F（x1）-F（x2）|进行变换。这时只需考虑取F（x）的极端值，易得F（x）max=F（1），F（x）min=F（0），从而就有对于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0），最后再将不等式的右边利用函数F（x）的表达式变形化简即可。

上面这道题的解题思路就是“退”到极端位置，所以在解决一些一般性、存在性的问题时，“退”到极端情形是很好的切入点。

2. “退”到起始点——分析法

分析法是一种直接证明的方法，即从数学的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。简言之就是执果索因，它实际上也是一种主动的“退”，有目的性的“退”。有如一条江从源头开始，后面可能产生很多分支。如果我们把数学题中的已知条件比作一条江的源头，待证结论比作它的下游。那么，从下游逆流而上寻找源头，反倒更有目的性，不容易受到其他支流的干扰，也更能发现问题的本质。

例如 新课程标准（湘教版）选修4-5《不等式选讲》中提到了定理：|a+b|≤|a|+|b|

对这个定理可采用综合法证明如下：

∵-|a|≤a≤|a|——① -|b|≤b≤|b|——②

∴由①②相加得到：-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

在上述的证明过程中，笔者认为①②两式的引入让人觉得有点突然，而且教师在讲解时不容易讲清思考方向。但若采用分析法来解决，思路的产生就显得自然多了。另外还可以采用另一种更为简洁的分析法证明：

要证 |a+b|≤|a|+|b| 只需证|a+b|2≤（|a|+|b| ）2

只需证a2+2ab+b2≤a2+2|ab|+b2 只需证ab≤|ab|

上式显然成立 ∴原不等式成立。

综上，笔者认为在数学学习中，应具有“退”的意识，讲究“退”的方法与策略。当代著名的美国数学家、教育家波利亚说过：“我们应该谈论一般化，特殊化和类比这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”就让我们以退为进，使学生学会学习，学会探究，学会创新吧！