注重用向量线性运算的几何意义解题

李凌云

摘 要：在解决向量的有关线性运算的习题时要注重用向量线性运算的几何意义解题，把代数问题几何化，从而达到事半功倍的效果。

关键词：向量；线性运算；几何意义

向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用。向量在高考中的考查主要集中在两个方面：一是向量的基本概念和基本运算；二是向量作为工具的应用。基本概念和基本运算的考查主要以选择和填空题的形式出现，解决此问题请不要忽略用向量线性运算的几何意义去思考，从而使代数问题几何化，可以达到事半功倍的效果。现以以下几题为例说明：

例1.（2013湖南卷理科第6题）已知a，b是单位向量，a·b=0。若向量c满足c-a-b=1，则c的取值范围是（ ）

A.■-1，■+1 B.■-1，■+2

C.1，■+1 D.1，■+2

点评：平面向量线性运算是高考常考的知识点，在解题过程中善用它的几何意义去理解、分析题意，代数问题几何化，使要解决的问题更加清晰、明了。本题再结合圆的定义，动点C到定点D的距离为定值1，从而确定C的轨迹，使问题迎刃而解。

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图1

例2.（2013北京卷文科第14题）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足■=λ■+μ■（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________

点评：本题也可以通过设点P的坐标为（x，y）用代数的方法，得出x，y的线性约束条件，利用线性规划知识得出可行域的面积，但这种方法有些繁琐，而利用向量的线性运算的几何意义可以达到事半功倍的效果，再利用课本的例题结论轻松得出结果。

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图2

例3.设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=■，（a-c）·（b-c）=0，则|c|的最大值等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.1

点评：本题主要考查向量的数量积运算和减法运算，在解题过程中善用向量减法运算的几何意义再结合数量积垂直的充要条件从而确定动点C的运动轨迹，使代数问题几何化，从而快速得出结果。

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图3

（作者单位 江西省奉新县冶城职业学校）