数列中的几种数学思想

张建虎

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容.同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数、方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等）.在数列问题中，若能恰当运用相关数学思想方法，可使许多较复杂的问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程的目的.本文就数列中的几种数学思想阐述如下：

一、函数思想

数列可以看作定义域为正整数集上的特殊函数.运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识间的关系的理解.

二、方程思想

等差或等比数列一般涉及五个基本量：a1，d（或q），n，an，Sn，于是“知三求二”成为等差或等比数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解.

点评：解法一利用了基本量法求得a1，d，进而求得前n项和Sn.解法二利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a3，a7，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想，找出解题的捷径.

三、分类讨论思想

在解答某些数学问题时，常会遇到多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，这就是分类讨论法.分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，使问题清晰.

评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度.

总之，数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果.教师在讲解具体数学内容和方法时，应高度重视数学思想方法的挖掘和渗透，让学生领悟其价值，滋生应用的意识，从而掌握数学思想方法这个锐利的武器而受益终生.