特值、特形 在数学解题中的运用

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，必须具有思维的灵活性.我们所遇见的数学题许多是生疏的、复杂的.有的看似很难，但只是考得较为灵活，只要你“脑筋急转弯”，就能巧夺天工.所谓特值、特形，我们不妨把它理解为在解决数学问题时，有时可以选取一个或几个特殊值或利用特殊图形进行分析，发现问题的一般规律，从而获得解题途径；另外有时对于问题的结论不随题设变化时，只要把特殊情况分析清楚或先恰当地利用特殊值进行计算便可求解.因此特值、特形是归纳思想在解题中的具体体现.以下就谈谈如何运用特值、特形来解决实际问题.

一、计算题中的运用

1.三角函数值计算.由三角函数定义知，函数值可以构造直角三角形的两边之比，值的符号要看角所在象限.因此三角函数值与三角形的大小无关.求值时可选取特殊值（定值），这样不仅解题快速且可大大提高准确率.以下举两例说明.

2.相关比值问题的计算.此类题目往往设定一些未知数，但最后又被约掉.所以题目结论与所设数值无关，因此，我们不妨采用特殊值方法，这将会对运算起到简化的作用.

二、解方程中的运用

在数学中解方程（组）是常见的问题，也是同学们应掌握的重要能力，而同学们往往偏重常规方法.忽视对题目的分析，其实赋以特殊值方法是解复杂方程的一种重要的手段.现举两例说明：

三、在填空题中的运用

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

四、解答题中的运用

由于共性寓于事物的个性之中，所以对于有些较复杂的问题只要把特殊情况讨论清楚了，一般情况就容易化归为特殊情况了.

注：这里是将椭圆系中的图形特殊化，在取特殊位置时既不失一般性，而又便于计算.

五、探索性问题的运用

我们都知道数学中的许多公式、定理都是通过从特殊情况入手去探索、发现、归纳，然后严格证明后成为一般规律的数学思想，这就要求我们的高中生掌握这一思想方法，从特殊值入手分析发现规律解决问题.

综上所述，特值、特形的多方面运用，不仅说明它在解决数学问题时的广泛性和重要性，而更主要的是说明它应该是学生必须掌握的一种数学思维方法.利用特值、特形解题，它应该是一种数学意识，是在众多的信息面前，注重挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养.运算能力的指标可归纳为：准确、熟练、合理、简捷.运算的合理性是运算能力的核心，运算的简捷是运算合理性的标志.只有深刻理解数学知识内在的本质属性，注意观察、分析题目的结构特征，挖掘题目中的每一条信息，筛选出关键或有用的信息，才能找准切入点.

（作者：周坚，苏州市木渎第二高级中学）