采菊东篱下，悠然见南山

在高考命题中，概率的知识常常以填空题的形式来出现，而解答题常常以概率的应用题为主，特别是考查概率的统计定义以及几何概型，当然，在试题中也常常渗透对数学思想方法的考查.

问题一：古典概型，把握基本

例1（2012高考安徽文科第10题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于.

分析：本题是古典概型问题，关键是把握古典概型公式P（A）=A包含的基本事件个数总的基本事件个数来解决上述问题.

解：1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3，

从袋中任取两球共有a1，b1；a1，b2；a1，c1；a1，c2；a1，c3；b1，b2；b1，c1；b1，c2；b1，c3；

b2，c1；b2，c2；b2，c3；c1，c2；c1，c3；c2，c315种；

满足两球颜色为一白一黑（即一b一c）有6种，概率等于P=615=25.

点评：理解古典概型的基本特征，把握古典概型的公式并正确列出基本事件总数及A所包含的基本事件的个数是解决该问题的关键.（本题也可以用P=C12C13C26=615=25来解决）

问题二：几何概型，寻求特征

例2（2012辽宁高考文科第11题）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为.

分析：几何概型是概率中的一个重要概率模型，利用几何概型解决问题时要选取适当的度量测度.

解：设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为（12-x）cm，那么矩形的面积为x（12-x）cm2，

由x（12-x）>20，解得2

点评：本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题.

问题三：数形结合，辨析重点

例3（2012高考湖北文第10题）如图1，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.

分析：本题是几何概型问题，可结合图象分析解决.

解：如图2，不妨设扇形的半径为2a，如图，记两块白色区域的面积分别为S1，S3，两块阴影部分的面积分别为S2，S4，则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π（2a）2=πa2①，

而S1+S2与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S2+S2+S3=πa2②.

①-②得S2=S4，由图可知S2=（S扇形EOD+S扇形COD）-S正方形OEDC=12πa2-a2，所以，S阴影=πa2-2a2.

由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=S阴影S扇形OAB=πa2-2a2πa2=1-2π.

点评：本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.2013高考我们需注意几何概型在实际生活中的应用.

问题四：数列交汇，知识生长

例4（2012江苏高考第6题）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

分析：本题是数列和古典概型相结合的问题，需要先找出数列中各项的特点，再利用古典概型公式解答.

解：∵以1为首项，-3为公比的等比数列的10个数为1，-3，9，-27，…其中有5个负数，1个正数共计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610=35.

点评：概率问题往往可以和其它知识点相结合，要求同学们特别要加强对这些交汇问题的解题能力.

问题五：统计交汇，追本溯源

例5（2012高考湖南文17）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数（人）x3025y10

结算时间（分钟/人）11.522.53

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

分析：本题是与统计问题交汇的题型，同时要结合互斥事件的加法公式解决.

解：（1）由已知得25+y+10=55，x+y=35，∴x=15，y=20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：

1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=19（分钟）.

（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

P（A1）=15100=320，P（A2）=30100=310，P（A3）=25100=14.

∵A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，

∴P（A）=P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=320+310+14=710.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.

点评：本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%，知25+y+10=100×55%，x+y=35，从而解得x，y，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

采菊东篱下，悠然见南山，要能灵活解决概率问题，要理解概念，掌握公式，辨析问题，就能在概率的问题中自由驰骋.

（作者：顾钱睦，如皋市薛窑中学）