圣彼得堡实验的MATLAB模拟分析

刘禹彤 赵毅

一、圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论来自于一个掷币游戏关于概率期望值的悖论。掷币游戏规则：设定掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；否则，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；以此类推，如果第n次投掷成功，得奖2n金元，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法：将每一个可能结果的奖金乘以该结果发生的概率，即可得到该结果的奖金期望值，游戏的期望值即为所有可能结果的奖金期望值之和。随着实验次数n的增加，虽然发生概率小，但奖金越来越多，且每一个结果的奖金期望值均为1，则游戏的期望值将为“无穷大”。而且按照概率的理论，多次实验的结果将会接近于数学期望。

但是，以往经验表明“没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。我们可以使用MATLAB軟件模拟实验过程来解释这一问题。

二、圣彼得堡实验的MATLAB模拟分析

由于投掷硬币得到正面和反面的概率相同（等概率事件），即P（正面）=P（反面）=0.5。

1.单轮圣彼得堡游戏的MATLAB模拟

当游戏参与者投掷硬币出现正面时游戏结束，我们可以将每次投掷的随机值由函数rand产生。如果该次rand函数运算结果小于等于0.5，定义为投掷出反面，游戏继续；反之，则定义为投掷出正面，游戏终止。

由于圣彼得堡游戏的不确定性，为了获得可信度较高的均值数据，需要进行多次模拟。下面讨论中，对一次性连续多次的游戏模拟统称为一轮游戏模拟。一轮圣彼得堡游戏由多个单次圣彼得堡游戏组成。截取每次运行的投掷次数和奖金数额这两个结果，得到单轮多次圣彼得堡游戏的MATLAB模型（设本轮投掷运行为100次）。从结果可以看出，在本轮模拟实验中单次游戏最高奖金达到32元，但是平均奖金只有10.62元，远小于32元。同时单次游戏最大投掷次数为5，但平均投掷次数只有1.98。

为了增加实验的可靠性，减少不确定性，增加单轮游戏的次数，以此观察实验结果与单轮100次模拟实验的结果的异同，以此找出规律（程序运行5000次）。

结果表明：单次游戏的最高奖金虽然达到了2048元，但平均奖金只有13.4972元，远小于2048元。同时，单次最大投掷次数增加为11，但平均投掷次数只有2.004。也就是说，对单次游戏来讲，平均每次游戏能够得到6.7351元。之所以可以达到13.4972元这样的平均奖金，是由于游戏的不确定性，产生了11次的最大单次投掷次数，使该游戏的奖金额大幅增加。

2.多轮圣彼得堡游戏的MATLAB模拟

在上图中发现最大投掷次数随着轮数的增加而增加，但是，增加速度并不明显。其中，最大的投掷次数为16次，此时，这一事件的概率为，约为1.5259×10-5。

在此基础上验证了当轮数为100000时的随机模拟实验，随着轮数的剧增，但是，单轮最大投掷次数仅为18，最大奖金额为 262144元。

说明当轮数趋向于无穷大时，最大投掷次虽然数也会增加，但是增加速率极慢。

在上图100个样本值中，数据分布如下：

54个数据分布在0～10元，均值为9.4720元，34个数据分布在10～20元，均值为17.1560元，8个数据分布在20～30元，均值为24.8400元，只有4个数据在30元以上。

综上分析，圣彼得堡游戏的定价可以按照其从小到大排序的88个数据的平均值为参照标准，定价为12元左右。

3.单轮游戏的平均投掷次数

从下图可以发现无论单轮的游戏次数是多少，其单轮的平均投掷次数的平均值为1.9911，最大值为2.1071，最小值为1.82，在直线y=2上下波动震荡（见下图）。

三、结论

从以上的模拟实验的结果数据分析得出以下结论：

1.圣彼得堡游戏的平均单次投掷次数趋近于2

2.单轮圣彼得堡游戏的最高投掷次数增长速度随着次数的增加而变缓，趋近于0

3.单轮圣彼得堡游戏的平均奖金的增长速度随着次数的增加而变缓，趋近于0

4.由于实验的不确定性，单次游戏可以有较高的奖金，但是其概率极小，不会对其他参与者产生吸引力

由上述模拟结果分析得出：可以将游戏定价为12元时，此时需要投掷硬币4次才可以赢取奖金4元，此时的概率为0.0625，这已经是一个小概率事件了，而且可以保证游戏参与者中既有失败者，又有成功者，而且游戏组织者的损失和收益也大致相当。

参考文献：

朱琳，叶向.圣彼得堡悖论的计算机模拟分析[J]计算机系统应用，2009（11）.

（作者单位 刘禹彤：北京林业大学理学院 赵毅： 浙江财经大学）