数学思想方法漫谈

曹洪娥

摘 要： 数学教学不能仅满足于单纯的知识灌输，还应使学生掌握数学最本质的东西——数学思想方法，用数学思想方法统率数学知识，培养和发展学生的数学能力.本文从数形结合思想、化归思想、分类讨论思想三方面对数学思想在教学中的应用加以阐述，为教学提供参考.

关键词： 初中数学教学 数形结合思想 化归思想 分类讨论思想

数学思想是指现实世界的空间形式的数量关系在人的意识中的反映，再经过思维活动而产生的结果，是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，是开发智力、培养能力的重要途径.数学方法是数学思想的表现形式，是指在数学思想的指导下，为数学活动提供思路和手段，是解决数学问题的根本策略.数学思想和数学方法既有联系又有区别，数学思想是数学方法的理论基础，数学方法是实施有关数学思想的技术手段.数学思想体现了概括性和普遍性，数学方法体现了操作性和具体性.数学思想比数学方法在某种程度上处于更高的层次.对于学习者来说，思想和方法都是他们思维活动的载体，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想。一旦数学思想形成，就会对数学方法起指导作用.“掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和便于记忆，领会基本的数学思想和方法是通向迁移的‘光明之路.”（布鲁纳语）因此，相比数学知识的教学，应更注重数学思想方法的教学，这对于抓好双基、培养能力及培养学生的数学素质都具有十分重要的作用.

一、数形结合思想

“数无形时少直观，形无数时难入微”，可见数形结合思想在数学学习中多么重要.所谓数形结合就是把数与图形结合起来，直观形象，使抽象的内容具体化，为分析问题和解决问题提供有利条件.中学生思维发展的趋势是从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，因此在中学数学教学中渗透数形结合思想尤为重要.

1.应用于概念教学

例1：讲解平行四边形、矩形、菱形、正方形时，我们可以用图1的形式.这样学生就可以很容易区分平行四边形、矩形、菱形、正方形.再如：对三角形进行分类时，可以用图2，这些图能将事物的逻辑关系清晰地呈现在学生面前，使学生更易于理解和接受.

图1 图2

数学概念是现实的世界中空间形式和数量关系在思维中的反映，是正确推理和判断的依据，抽象性很强.中学数学中概念描述较抽象，这种抽象性和中学生思维的直观性存在一定的矛盾，解决这一矛盾的方法之一，就是采用数形结合方法.数形结合可使抽象的概念直观、形象，便于学生理解记忆，也使学生的空间观念和认识提高到一个新的水平.

2.应用于法则教学

例2：学习了勾股定理a■+b■=c■，借助两个相同的长方形（如图3），对勾股定理进行验证.借助图形较直观地得出S■=S■+S■+S■，■（a+b）（a+b）=■ab+■ab+■c■，从而得出a■+b■=c■的结论.

图3

数学公式言简意赅地反映了数量关系，教师在进行逻辑证明的同时，结合图形使数学知识以形象化的方式呈现给学生.既使同一结果从不同的角度得到印证，又让学生初步感受到逻辑与非逻辑思维能力的协同作用.

课堂教学还可以用数形结合思想分析和解决应用题，可以将应用题中各种数量关系直观地呈现在学生面前，有利于学生分清题中的数量关系，丰富表象，拓展思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.

二、化归思想

化归思想是初中阶段接触最多的数学思想，其基本形式有：化难为易，化繁为简，化曲为直，化未知为已知等.即通过变形把有待解决的问题通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题，通过对该问题的解答，解决原问题.化归思想在解决数学问题中起到巨大的支撑作用.在中学数学教学中，运用化归思想进行教学，可以促使学生把握事物的发展过程，并对知识的内部结构、纵横关系、数量特征等有深刻的认识.

例3：（2009青岛）（如图4）长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B.那么所用细线最短需要？摇 ？摇？摇？摇cm.

图4

分析：有不少求线段长度的问题有时候我们无从下手，如果换个角度思考问题，就可以迎刃而解.因为长方体是立体图形，需要将其转化成平面图形，沿长方体的一个侧面展开得到一个长8cm、宽6cm的长方形，点A经过4个侧面缠绕一圈到达点B的最近距离就是长方形对角线AB的长度.从而将实际问题转化成直角三角形模型，继而利用勾股定理解决问题.

例4：一张边长8厘米的正方形纸片，从一边的中点到临边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角（如图5），剩下的面积是多少？

图5 图6

这是一道不规则图形的面积计算题，我们不能直接利用面积计算公式计算.如果采用补形的方法（如图6），很容易就能看出所求的面积就是正方形的面积减去图中阴影部分的面积.这样就把有待解决具有难度的问题转化为比较容易解决的问题.在初中数学教学中，教师应不失时机地利用这些图形变换，进行思想方法的渗透，让学生利用化归思想，将图形通过旋转、平移、翻折、割补等途径加以“变形”，使题目变难为易，求解也水到渠成.

三、分类讨论思想

分类讨论是指数学问题不能按统一的方法去处理，根据研究对象性质的差异，按可能出现的各种情况分别进行讨论，然后把各种相互独立的结论汇总，得出问题的答案.

例5：（2010上海）已知方程m■x■+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围.

本题字母系数的取值范围是否要讨论，要根据题目的条件而定.一般设置有“二次方程”或“两实数根”，这些都表明该方程是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，分两种情况：

（1）当m■=0时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1.

（2）当m■≠0时，方程为一元二次方程，据有实数根的条件得：△=（2m+1）■-4m■=4m+1≥0，即m≥-■且m■≠0，综合（1）（2）得m≥-■.

例6：（2012龙东市）等腰三角形的一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为？摇 ？摇？摇？摇.

图7

本例属图形不确定性而引起的分类讨论，分高在三角形外和三角形内两种情况，解决此类问题要确保不重复、不遗漏.

变式：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，腰长4cm，则腰上的高为？摇？摇 ？摇？摇.

初中数学教学中涉及的数学思想和方法还有数学建模思想、整体思想等，数学教学应当是数学思想和方法的教学。教师在课堂教学中，要结合不同的问题情境适时、恰当地渗透思想方法，使学生学得轻松、愉快，学得扎实.学生学得的知识是会遗忘的，但他们学得的思想方法是终身受益的.我认为教师要善于把握数学思想方法，精心挖掘，在教学中相机渗透，使数学思想成为学生通向知识迁移的“光明之路”，使学生的数学学习能力有更大的飞跃.

参考文献：

[1]金成梁，周全英.中学数学教材概说[M].南京大学出版社，2002.

[2]张奠宙等.教学教育学[M].江西教育出版社，1991.

[3]李铭心.数学教育学[M].青岛海洋大学出版，1994.

[4]张奠宙.数学教育学导论[M].江苏教育出版社，1998.