从一道教材例题探讨历程的点滴感悟

袁新忠

课堂是学与教的主阵地，也是思维碰撞产生火花的平台，课堂上要做到丰富多彩、有血有肉，要以学生为主体，教师为主导。在教师的引导下，充分开发学生思维的潜能，展现学生思维的过程，分析学生思维的生长点，弥补学生的思维缺陷，优化学生的思维方式，使学生在师生共同探讨的过程中感受到学习的乐趣.以下是必修2“2.1.6点到直线的距离第二节课”中一道例题与学生共同探讨的经过，仅供参考.

一、教学片断

教师：在学习过点到直线的距离公式后，我们思考这样一道例题的解法：

例：建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

学生1：过点B作边AC上的高BH，过点P作PN垂直于BH，垂足为N.则只需证明AN=PE即可（挖掘条件证明△AEP？艿△PNA）.

教师：可以，该同学使用了平面几何知识，采用了分割法处理问题，还有不同意见吗？

学生2：我还有另外一种方法，可以根据几个相似三角形来处理，由三角形的相似比有：，再利用等和比性质处理.

教师：这位同学说得很好，也是有效利用初中知识，处理恰当灵活.还有不同意见吗？

学生3：也可以用等面积法：，代入数值后可以得出结论.

教师：前面立体几何中经常用的等体积法给这位同学一个有效的知识嫁接，该同学想到了用等面积法解决问题同样起到了异曲同工的作用，值得大家学习.还有不同意见吗？

思考一段时间后，有同学站起来提出不同意见：

学生4：上面同学解决这题原则上是错误的（很多同学感觉很惊愕），因为题目有前提条件是“建立适当的直角坐标系”，同学们恍然大悟，这位同学很有成就感.

教师：这位同学说得很好，根据题意上面3位同学的解法可以说是不符合题意的，正确解法是（展示苏教版必修2教材第104至第105页的过程）：

解：如图建立平面直角坐标系，根据题意设A（a，0），B（0，b）（a>0，b>0），则C（-a，0）.

直线AB方程为：，即bx+ay-ab=0，同理直线BC的方程为：bx-ay-ab=0，

点P到AB的距离为：；点P到BC的距离为：PF=；点A到BC的距离为：PE=，所以PE+PF=，因此，等腰三角形的边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

二、教学感悟

课堂教学改革势在必行，其目的是充分发挥学生的主观能动性，提高课堂教学效率.老师与学生的思维要“吻合”，让学生的思维、方法、一言一语都要展示出来，既能培养学生的思维开阔性，又能使学生理性地看待问题，重视解题思维的发生、发展、矫正、优化、提炼的过程，享受从起点到终点螺旋上升的解题过程.在课堂教学中要做到以下几点.

1.乔治·波利亚的数学“解题表”明确提出：弄清问题.①已知是什么？未知是什么？②条件是什么？结论是什么？在这道题的分析过程中，直至第四个同学才真正审清题意，究其原因不外乎以下几点：（1）学生以往的思维定势、解题经验、解题惰性心理导致审题不清，这在学生平时的考试中经常会发生，而且笔者从统计数据上看很多同学不太重视，认为是可以忽略不计的非智力因素；（2）条件与结论相关的隐含条件及与题目相关的定义定理性质的知识嫁接，特别是知识的最近发展区之外的内容不能灵活应用，或者是就题解题，就题论题，脱离了题目的本质.（3）教育学中提到的题目中出现的“弱条件”（所谓的“弱刺激”），学生往往没有感知.

2.课堂上给予学生思考的权利，在教师的精心设计下，让学生有强烈的参与欲望，积极主动地参与到对知识的学习和探究中，在教学过程中由学生提供有效的“线索”.正面线索与反面线索，捷径思维线索与有待商榷的思维线索，甚至是错误的思维线索等都是我们在课堂教學中的第一手有效材料，有利于了解学情、正确评价、有的放矢地教学，引发学生展开对“案情”的思索与“侦破”，形成学生在活动、一题多解、多题一法、思维碰撞、优化完善中的思维高度活跃，最终高质量地理解与掌握知识.

3.学习数学要从定义出发，通过研究定义，同时对实际问题处理后反馈定义得到便于解题的性质、运算、可操作性的结论是数学逻辑思维的重要材料.“思维发展中质的变化的重要途径是通过思维材料——‘新质要素的逐渐积累和‘旧质要素的不断衰亡和改造而实现的”.事实上教学片断中的前三位学生仅仅停留在思维发展的旧质要素，没有迅速、灵活地应用新学知识处理问题，需要加强训练.

4.正面教学与反面教学有机结合.学生通过独立思考、讨论、讲述所展现的结果分为三类：①思维缜密，方法得当，表述完整；②思维正确但是操作起来繁琐、牵涉到不必要的复杂计算，有待进一步改进或优化；③思路错误但是具有代表性的问题.这三类展示结果正是课堂需要解决的有效材料，第一类展示结果从正面上反映了学生扎实的基本功，是其他学生学习的好榜样.第二类展示结果则是课堂的重点之一，是提高学生思维的最佳材料，在与学生共同探讨的过程中充分探究思维的死角，优化思维方式，并形成良好的思维意识.第三类展示结果则是课堂的催化剂，有时正方与反方激烈辩论，在辩论中纠正思维的错误，学生印象更深刻.

参考文献：

[1]王明安.课堂教学要为学生的学习创设空间，2012（12）（上旬）.

[2]数学方法与解题方法论.