三点共线思想在极值中的应用

毛军

极值问题一直是数学中的一个难点，也是考试中经常出现的一个考点，所以掌握一些基本的方法对极值问题的求解是很必要的，并且可以达到事半功倍的效果，三点共线思想方法就是一种在求极小值中经常用到的方法，下面列举几例以作参考。

一、三点共线思想在直线中的应用

例1、P为直线x-y+1=0上一点，A点（-3，5）B点（0，3）为平面上两点，求│PA│+│PB│最小值。

分析：如图，作点B关于直线x-y+1=0的对称点B'，连接AB'。易发现当P为直线x-y+1=0与线段AB'交点时，即A，P，B'三点共线时│PA│+│PB│取得最小值，且│PA│+│PB│=│PA│+│PB│=│AB'│。

解：。作點B关于直线x-y+1=0的对称点B'，求得B'的坐标为（2，1），再由两点间距离公式可以求得。

点评：这是动点到两个定点间距离和最小的一个典型例题，请仔细体会。

例2、已知实数x，y满足条件x>0，y>0，且x+y=4，则函数的最小值。

分析：可以把和看成两个Rt△ABC，Rt△A'B'C'的斜边AB和A'B'，Rt△ABC的一条直角边AC=x，Rt△A'B'C'的一条直角边A'C'=y，再把这两个直角三角形放到一起，使得A和A'重合，A'C'和AC在同一条直线上，则，，问题就转化为求直线一动点到两个定点的距离和最小，且。

解：Z=5。建立直角坐标系（如图），设A（A'）点的坐标为（x，0），B点的坐标为（0，1），C点的坐标为（0，0），B'点的坐标为（4，2），C'点的坐标为（4，0）。作点B关于x轴的对称点B'，求得点B'的坐标为（0，-1），连接B'B"，再由两点间距离公式可以求得。

二、三点共线思想在圆锥曲线中的应用

例3、（1）抛物线C：y2?=4x上一点P到点A（3，4）与到准线的距离和最小，则点P的坐标为______________。

（2）抛物线C：y2?=4x上一点Q到点B（4，1）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则│PH│=│PF│，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，）。连PF，当A、P、F三点共线时，│AP│+│PH│=│AP│+│PF│最小，此时AF的方程为即y=2（x-1），代入y2=4x得P（2，2），（注：另一交点为（），它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（）。过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，│BQ│+│QF│=│BQ│+│QR│最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q（）。

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例4、F是椭圆的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

①│PA│+│PF│的最小值为；

②│PA│+2│PF│的最小值为。

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF'或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-。设另一焦点为F'，则F'（-1，0）连AF'，PF'

当P是F'A的延长线与椭圆的交点时，│PA│+│PF│取得最小值为4-。

（2）3作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，