矩形内的几个面积问题

王勇

矩形是学生最熟悉的图形，与矩形有关的平面几何题也是数不胜数.本文例谈矩形内的几个面积问题，这些问题的解决方法虽然说是最基本的，但也是非常有效的.先看下面一个基本问题.

如图1，矩形ABCD中，BD为对角线，P为AB上任意一点，则△PDE的面积等于△BCE的面积.为书写方便，简记为：S（1）=

S（2），以下例题中也是如此.

这个结论是容易看出的，从图2中不难知道，S（1）+S（3）=S（2）+S（3），这是因为它们都是矩形面积的一半.从而S（1）=S（2）.

利用上面这个结论（以下称为基本结论），可以解决矩形内许多面积问题，试举一例.

例.如图3，矩形ABCD中，E为AD上任意一点，F为AB上任意一点，G为CD上任意一点，顺次连结E、B、G、F、C得一五角星，证明：S（1）+S（2）+S（3）+S（4）+S（5）-S（6）是一个定值.

证：如图4，S（1）+S（7）+S（5）+S（2）+S（8）+S（3）是矩形面积的一半，由基本结论，S（4）=S（7）+S（6）+S（8），即S（7）+S（8）=S（4）-

S（6），从而S（1）+S（7）+S（5）+S（2）+S（8）+S（3）=S（1）+S（5）+S（2）+

S（3）+S（4）-S（6）是一个定值，即S（1）+S（2）+S（3）+S（4）+S（5）-

S（6）是一个定值.这个定值就是矩形面积的一半.

（作者单位 江苏省徐州市运河高等师范学校〈副

教授〉）