“说数学”运用于高三复习课的案例分析

许娜

“说数学”是指教师在课堂上创设机会让学生介绍解题思路、总结解题经验，鼓励学生发表自己对数学问题的不同见解.“说数学”是数学交流的重要形式之一，它包含“说知识”“说过程”“说异见”和“说体会”四个环节.本文以《等差数列复习》一课为例，浅析“说数学”理念在复习课的重要意义.

课堂教学过程简述

《等差数列复习》这一课的内容安排：①知识梳理，包括等差数列的定义，通项公式，前n项和公式，简单的性质等；②基础训练，主要是关于a1，d，n，an，sn的计算问题，目的是熟悉公式，体会方程思想的应用以及训练计算速度；③题型示例，设计以下两个例题：

例1：已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8.（1）求数列an的通项公式，并作出它的图像；（2）数列an从哪一项开始小于0？（3）求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.

本例题的设计意图是让学生从解析式的形式和图像两方面体会数列与函数的联系，使学生理解数列是一类特殊的函数，学会用函数的思想解决数列问题.

例2：已知等差数列an的前n项和记为Sn，公差d>0，且满足a2a3=45，a1+a4=14.（1）求数列an的公差d 的值；（2）令bn=■，若数列bn也是等差数列，求非零常数c的值.

本例题的设计意图是让学生理解等差数列的概念，经历由一般到特殊的演绎推理过程，培养逻辑思维能力.

例题教学普遍采用讲练结合模式，即学生先做，再由教师讲解思路，学生再进行巩固训练.而“说数学”的模式，则是学生先做题，再由学生上台展示解题思路及书写过程，然后由学生总结知识点和解题方法.教师的作用是组织、引导和评价.以下是学生“说数学”的过程记录：

学生A投影了例1的解题过程，并简单讲了解题思路：“由于首项和公差已知，直接代入公式就得到通项了.作出图形是这样的一些点（指出他作的图形）.”我对学生A提出问题：“你描的这些点是散乱无章的吗？有规律吗？”A生答：“这些点都在直线y=-8x+39上.”我继续追问：“那你为什么不把这些点连成直线呢？”A生迟疑片刻，很肯定地说：“不能连成直线，因为n的取值是正整数，图像不是连续的！”台下的学生，有不少是把图像画成直线的，这时都“恍然大悟”.于是我及时给予了A 肯定的评价：“很好！A同学充分理解了等差数列的通项公式与一次函数的联系，注意到了数列是一类特殊的函数，他的解答是完全正确的.”A生继续讲解第（2）小题：“由图像上我们可以看到，这个数列前4项都是正的，从第5项开始就变成负数了，那么它的和应该从第5项开始变小了，所以S4是最大的，最大值是76.”我对A 生评价：“你的想法很有道理，表达得也很清楚，大家都听懂了.但我有个疑问，如果没有作图，这道题该怎么解呢？”A生想了想说：“主要是找出从哪一项开始，项变成了负数，可以令an<0，解不等式解出n来！”我更进一步：“你能否总结一下一般性的解题方法？”A生感到困难，停顿下来，有点不知所措.台下的学生议论声更大了.稍后我进一步启发：“对一个等差数列来说，它具备怎样的性质，它的前n项和才有最大值呢？”台下学生抢答：“数列是递减的！”A生补充：“d<0.”“很好！那么我们怎样找到使Sn取最大值的那一项？怎样用式子表示？”A生：“如果an≥0，an+1<0，那么第n项就是使Sn取最大值的那一项.”“非常好！那么对于Sn取最小值的情况，你也可以总结出来了吧？”A生很有信心地说：“如果d>0，数列是递增的，若an≤0，an+1>0，则第n项是使Sn取最小值的那一项.”A生的回答非常准确，而且与刚上台相比，他的自信心有了很大提高，语言表达非常流畅.台下的学生自发为他鼓掌.我对A生的表现给予了中肯的的评价，请他回到座位.至此，这道题已经解完，并且由学生自己总结出了解题方法，效果不错.但是，“说数学”的环节并没有结束，我的教学目标也还没完全达到.接下来，我鼓励学生提供不同的解题方法，然后从知识和方法两方面来给这道题做个小结.B生考虑了一会，结结巴巴地说：“这道题涉及到的知识有等差数列的通项公式，前n项和公式，一次函数、二次函数的图像等，方法、第（2）题方法，我的方法是利用二次函数的性质.”虽然他讲的不是十分全面，但毕竟迈出了第一步，我大力地表扬了他，希望他得到鼓励，逐渐学会并习惯于自我总结与反思.以上的教学过程，基本实施了“说数学”的四个环节——说知识、说过程、说异见、说体会.在学生说的过程中，教师注重启发，注重评价，学生的学习热情被激发，在例2时有更积极主动的表现.

以下是例2的“说数学”过程：

学生C：在等差数列an中，a1+a4=a2+a3=14，又已知a2a3=45，那么a2、a3可看作方程x2-14x+45=0的两根，容易解出a2=5，a3=9或a2=9，a3=5.题目条件有d>0，所以应取a2=5，a3=9由此可得d=4.第（2）问我们可以先求Sn，由d=4，可求得a1=1，因此Sn=na1+■d=2n2-n，那么bn=■，如果bn是等差数列，那bn应该是一次函数，所以将bn变形为bn=■，观察可知当c=-■时，bn是等差数列.

教师：C同学的讲解非常清楚，解题过程的书写也很规范，对于第（1）问，他的解法巧妙运用等差数列的性质，使得计算过程很简便.但是我观察到第（2）问你的解答过程有涂改的痕迹，你能跟大家说说是怎么回事吗？

学生C：我一开始想用2bn= bn-1+bn+1来计算c，代进去发现太复杂了，所以放弃了.

教师：很好，C同学在思路受阻的时候懂得另辟蹊径，从函数的角度去研究这个问题，说明他很有钻研精神，而且思维很活跃.那么，对于他现在的思路，你们认同吗？

很多学生露出怀疑的表情，议论纷纷，我请学生D发表看法.

学生D：我觉得他的做法有道理，但是好像不太全面，c会不会有其它取值呢？

教师：D同学的问题提得太棒了！c=-■是观察出来的，它只是bn为等差数列的一个充分条件，c还有别的取值吗？你们有办法解决这个问题吗？

学生E主动要求上讲台讲解，由于还没来得及把过程写在学案上，E生要求板书.

学生E：如果bn是等差数列，那么必定有2b2=b1+b3，这是它的必要条件，这样求出来的c肯定正确.并且这个式子很简单，很容易求.

教师：E同学的想法非常好，他用特殊代替一般，使计算得以实施，求出了c值，这个c值不会有遗漏.但是他说这样求出的c“肯定正确”，你们认同吗？

学生F：他刚才说这是bn为等差数列的必要条件，对b1、b2、b3是成立的，那能说明对所有的正整数都成立吗？

教师：很好！F同学想得很周到，这个问题怎么解决呢？

多名学生：证明bn是等差数列！

教师：对！通过证明，我们就能保证“当c=-■时，bn是等差数列”这个命题的正确性.下面，请同学们把这道题的完整的解题过程写在学案上.

（证明过程略）

案例分析

1. “说数学”有助于复习目标的达成

本节课由于给了较多的时间给学生展示、质疑、交流，只完成了一组基础训练题和两道例题，从传统意义上讲，似乎容量不足.但这一组习题、两道例题所涉及的知识基本覆盖了本节所要掌握的重要知识点，而解决方法则体现了本节最重要的数学思想——方程思想和函数思想.学生对这些知识和思想方法掌握得如何呢？在“说知识”的过程中，学生经历了脑中归纳整理和口头表达的过程，对相关知识点印象深刻.而思想方法，是学生自己在解题过程中先体会，再在教师引导帮助下总结并用语言表达出来.建构主义学习理论提出“学生要成为意义的主动建构者”，因此思想方法不是教师灌输的，应是学生自己的体会.教师的作用是帮助他们将脑海中模糊的概念清晰化，形成文字或语言，使之能进行交流和共享.本节课的“说数学”各环节，正是基于这样的目的来设计.因此，尽管这节课花的时间多，做的题不多，但是复习目标达成度高，复习效果较好.

2.“说数学”有助于教学信息的及时反馈

“说数学”的方式，使学生有一个展示自己的平台，通过投影作品和口头讲解，他们的思维过程完全暴露出来.这种及时、快速的信息反馈，无论对教师还是对其他学生，都意义非凡.对台下学生来说，了解其他同学的想法，对自己是一种启发.同时，因为台上讲解的是自己的同学，不是权威人物，使得他们更有质疑的兴趣.这种质疑，成为了他们积极思考的动力.对教师而言，及时地了解才能“对症下药”.下一步的教学策略怎么调整，怎么启发，怎么设计问题，都建立在学生的信息反馈上.本节课例2的教学过程中，学生C的第（2）问的解答思路是我没有预计到的，如果没有学生C的展示，我不会知道其实很多学生都是这种做法，也就不会有后面的质疑和辨析.

责任编辑罗峰