让“研题”成为数学教师的解题习惯

2013-04-29葛建华

中小学教学研究 2013年7期

葛建华

解题能力是数学教师必备的基本能力之一，解数学题也是数学教师的日常教学研究的一个重要组成部分。作为教学研究一部分的解题活动，教师不能止于解出正确的结果，而应从研究问题的角度去解题，也就是要“研题”。那么，如何去“研题”？笔者结合教研实践，谈谈自己的做法。

一、研题，尝试从不同的角度审视问题入手

教师解数学题，不能仅仅满足于答案正确，而应注意灵活运用相关数学知识，从不同的角度审视问题，一题多解.如能长期坚持，教师对数学题的感知领悟和化解能力必有得的长进，课堂教学也就游刃有余了.

【问题1】图1，设点O是△ABC的外接圆圆心，AB=5，AC=4，则■·■=______.

角度1：从题设的条件可以看出，本题的结果应为定值，故可利用特殊值法，即取△ABC为直角三角形，其∠C=90°，则O为斜边AB的中点，■=■■，BC=3.

■·■=■■·■=■■·■cos（π-B）=-■■·■cosB=-■.

本解法虽不甚严谨，但对于填空题来说，不失是一种讨巧的方法.其实，利用特殊性解题，也是数学解题的一种重要方法.

角度2：从条件AB=5，AC=4入手.注意到■=■-■■=■-■，等号两边平方，展开得

■2=■2-2■·■+■2（1）■2=■2-2■·■+■2（2），又■=■=■=R（外接圆半径），（1）-（2）得：52-42=2■·（■-■），即9=-2■·■，∴■·■=-■.

角度3：从条件点O是△ABC的外接圆圆心入手.O是△ABC的外接圆圆心，也就是△ABC的三边的垂直平分线的交点.过点O作OD⊥BC于点（如图1），则D为边BC的中点，且■·■=0，从而■·■=■·■+■·■=■·■=（■-■）·[■（■+■）]=■（■2-■2）=-■.

角度4：从结论入手，借助于圆弧所对圆心角等于其所对圆周角的2倍，结合正弦定理求解.

■·■=（■-■）·■=■·■-■·■

=■■cos∠AOB-■■cos∠AOC

=R2cos∠AOB-R2cos∠AOC

=R2cos2C-R2cos2B=R2（1-2sin2C）-R2（1-2sin2B）

=2R2sin2B-2R2sin2C=■[（2RsinB）2-（2RsinC）2]

=■（AC2-AB2）=-■.

方法评析：一个小小的题目，从多个角度切入，囊括了向量的加减、数乘、向量数量积、三角的倍角公式、正弦定理及平面几何中圆的性质等知识，体现了特值法、数形结合、向量与数量的等价转化等思想方法和解题时强烈的目标意识.

从上面可以看出，解题时如果能有意识地从多个角度思考问题，将有助于我们巩固知识，掌握方法，以达到摆脱题海，事半功倍之效.我们平时在教学时是否也应该有意识地对学生加强这方面的训练呢？

二、研题，从优化问题的解题思路着眼

当下的教辅资料或教学杂志上对数学题目都有较为详尽的解答，教师如果只是“拿来主义”，既不利于自身的专业成长，也难以将问题讲清、讲透，教学效果必打折扣.如果能够仔细研读问题的解答，加以深入的思考，从优化问题的解题思路着眼，从方法的层面将问题研透.长此以往，教师看问题就有了高度，解题思路也就变得“自然”了.

【问题2】设M是定圆O外的一个定点，试问：在定圆O内是否存在一个定点N，使得对于定圆O上的任意点P，比值■为定值？若存在，求出该定点N；若不存在，请说明理由.原解答在连接MO交定圆O于定点A，并延长MO交定圆O于定点B后，在直径AB内截取定点N，使得■=■，然后通过作辅助平行线利用比例相等证明点即为所求.笔者仔细品读后，惊叹点取法及证明构思之妙，但同时亦觉得点来得太突兀.笔者思索，能不能从思维的“最近发展区”入手，给出一个简单、自然一点的解法呢？

【解析】这是一个探索性问题.我们不妨假设在定圆O内存在一个定点N，对于定圆O上的任意点P，比值■为定值.既然对于定圆O上的任意点P，比值■为定值，那么自然容易想到点P在特殊位置（切点P0处）时当然成立（如图2）.注意到△OMP0是直角三角形，若作P0N⊥OM于点N，便会得到Rt△OMP0∽Rt△OP0N，从而有■=■=■为定值.则点N可能就是所求的定点.下面只需证明对于定圆O上的任意点P，比值■为定值■即可.

（1）当点P与点A或B重合时，易证■=■=■=■=■.

（2）当点P为圆O上异于点A、B的任意一点时（如图3），Rt△OMP0P0N⊥OM？圯

OP02=OM·ONOP=OP0=r？圯OP2=OM·ON？圯■=■？圯△OPN∽△OMP？圯■=■=■

最后需要说明的是，用上述方法得到的结果与文[1]的结论是一致的，因为由文[1]的■=■=■可得■=■=■=■.另外，运用上述方法可以很方便地利用尺规作图作出点.

三、研题，还需甑别“正确解答”中隐藏的错误

数学综合问题由于涉及的数学知识点多、综合性强，解决这类问题时往往容易出现理解性偏差，导致等价转化并不“等价”，从而引发错误，特别是在“歪打正着”得到正确结果的情形下，错误隐蔽更深且不易觉察，甚至在一些大型考试题所给解答中也出现.

【问题3】已知函数f（x）=lnx+■x2-x，若存在x∈[1，2]，不等式a+3x-xf′（x）<0，求实数a的取值范围.

【参考答案】由条件，f′（x）=■+3x-1.

题意即？埚x∈[1，2]，使a+3x-x（■+3x-1）<0成立，

即？埚x∈[1，2]，使a+3x<3x2-x+1成立，

即？埚x∈[1，2]，使-3x2-2x-1

即（-3x2-2x-1）min

令g（x）=-3x2-2x-1，x∈[1，2]，得[g（x）]min=-17.

令h（x）=3x2-4x+1，x∈[1，2]，得[h（x）]max=5.

∴-17

【剖析】本解答的结果正确，过程上似乎也没什么问题.事实果真如此吗？

我们知道：？埚x∈[m，n]，a>g（x）？圳a>[g（x）]min，x∈[m，n].

？埚x∈[m，n]，a

但是，？埚x∈[m，n]，g（x）

因为③式中g（x）中的自变量x与h（x）中的自变量x须为同一个量，而④式中[g（x）]min与[h（x）]max并不一定在同一个x处取得.

那么，参考答案给出的结果为什么恰好是正确的呢？

其实，仔细观察一下，可以发现g（x）在区间[1，2]上为减函数，h（x）在区间[1，2]上为增函数（在同一坐标系中画出g（x）与h（x）的草图更是一目了然），从而当x=2时[g（x）]min与[h（x）]max恰同时取得！由此可知，参考答案中由①推出②并不具备一般性意义，有点“歪打正着”的感觉！

无独有偶，请看下一道题.

【问题4】已知正数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn，常数0

本题是2007年江苏某市高考模拟题，可以说是一个非常热门的问题，此题有教师通过分类的方法给出从正面思考的解题过程，并指出：一般地，对？坌x∈D（区间），“命题p∨q恒成立”并不等价于“命题p恒成立或命题q恒成立”，而且要解决p∨q型恒成立问题比较困难.因此，建议解题时最好避免将问题转化为这种形式.笔者思考的是，如果解题时转化成了该形式，有没有一种方法可以做下去呢？经过探索，笔者发现借助否命题从反面来考虑，即可以利用命题“？坌x∈D，命题p∨q恒成立”的否定是“？埚x∈D，？劭p且？劭q来实施.

【解析】由条件，Sn=41-（■）2，代入■<2中，

问题转化为：对于任意的正整数k，

■>0恒成立.

即：对于任意的正整数k，c<4-6×（■）k或c>4-4×（■）k恒成立.

该命题的否定为：？埚x∈N*，使4-6×（■）k≤c≤4-4×（■）k成立⑤.

取k=1，得4-6×■≤c≤4-4×■，即1≤c≤2.

取k=2，得4-6×（■）2≤c≤4-4×（■）2，即■≤c≤3.

取k=3，得4-6×（■）3≤c≤4-4×（■）3，即3■≤c≤3■.

由条件0

从而所求c的取值集合为CUA={c|0

值得注意的是，本解法若将⑤“？埚x∈N*，使4-6×（■）k≤c≤4-4×（■）k成立“转化为：[4-6×（■）k]min≤c≤[4-4×（■）k]max，k∈N*，则有1≤c<4，从而得所求c的取值范围为0

让“研题”成为数学教师的解题习惯，在“研题”中拓宽自己看问题的角度，在“研题”中感悟数学题目中蕴含的数学思想方法，在“研题”中甑别错漏、优化解题的思路，必将有助于教师的自身专业成长，有助于数学课堂教学有效性的进一步提升.