通法还是巧解

马林刚

摘 要：在研读2013年重庆市高考理科考试说明的样题的过程中，笔者发现第17题作为解答题的第一题，考试说明给出的解法属于巧解. 如果使用通法求解，虽然解题步骤简洁很多，但是会让求解陷入误区. 笔者试图探讨通法求解陷入误区的原因及解决方案，同时强调命题者应该重视通法通解.

关键词：考试说明；第17题；通法通解

高考试题历来是高中教学的指挥棒，高考考试说明的样题更是高中师生研读的重点内容，样题所体现的对数学思想、方法以及对通性通法的追求几乎成了高中数学教师的教学价值观. 所以笔者认为考试说明的样题一定会体现好通性通法，虽然巧解能体现出数学的思维价值，但作为“Mathematics for all”（大众数学）的今天，人们应该更加注重通法.

2013年重庆市高考理科考试说明样题第17题似乎更加强调技巧，因为通法在解决本题会遇上一些麻烦. 笔者试就这个问题进行一些讨论，以此文就教于各位专家、同行.

原题及解答：设f（x）=1-2sinx（sinx+cosx）. 求：

（1）f（x）的最大值和最小正周期；

（2）函数y=

-≤x≤

的值域.

解：（1）f（x）=1-2sinx（sinx+cosx）=1-2sin2x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=·

cos2x-sin2x

=

cos·cos2x-sinsin2x

=cos

2x+

.

所以f（x）的最大值为，最小正周期为π.

（2）由（1）可知y=·=·

-

=·

-=·tan

2x+

-.

当-≤x≤时，有-≤2x+≤，从而tan

-

-≤y≤tan-，即-≤y≤. 故所求函数的值域为

-

，.

可是，笔者在解答这道题的第（2）问时发现，如果采用另外的处理方式，虽然更利于学生接受，可是答案却不一样.

（2）略解：y=== -+.

当-≤x≤，有-≤2x≤，其中2x=-会使得tan2x无意义.

至此，此题解答陷入僵局.

到底是什么原因呢？考试说明的解答却没有遇到这样的问题. 仔细分析发现，由已知，cos2x-sin2x≠0是必须的，即是说明2x≠kπ+（k∈Z），即x≠π+（k∈Z）. 但是并不要求cos2x≠0. 这种陷入僵局的解法却在求解中假定了cos2x≠0成立.

回到考试说明的解答，由y=·=

-

=

-=tan

2x+

-的处理中，如果改为·-=-+·，也将会陷入同样的僵局. 那么是不是这种陷入僵局的步骤是不应该出现的呢？笔者认为这种思路除了没有考虑到-≤2x≤对后续讨论带来的影响以及假定了cos2x≠0以外，应该是一种通法，这种方法在求函数值域的问题中经常出现（例如，求函数y=1+，x∈[2，3]的值域等类似问题）. 打破僵局也只需先讨论cos2x=0的情况，再讨论cos2x≠0的情形.

考查细节固然重要，但是在思想方法都正确的情况下，却让考生在第一个解答题落入这个“圈套”，实在是有些委屈. 考试说明的解答为了避开这个“圈套”，舍近求远，当然是应当的，但是作为一道考题，是不是应该在x的取值范围上降低难度，让考生稳定作答. 如改为-≤x≤，让两种方法都能顺利作答.

笔者才疏学浅，一家之言，还望专家同行批评指正.