球面与伪球面之异同

侯莹楠

摘要：本文给出了球面与伪球面的数点异同，并给出了伪球面的面积和伪球体的体积。

关键词：球面；伪球面；体积；三角形；平行公理

一、预备知识

19世纪上半叶，德国数学家黎曼与俄国数学家罗巴契夫斯基分别独立地创立了非欧几何，被世人分别称作黎曼几何与罗氏几何，这为数学的发展开辟了新的广阔天地，堪称“数学史上的里程碑”。在三维空间里，欧氏几何，黎曼几何与罗氏几何的常曲率空间分别为：曲率为零，曲率为正常数，曲率为负常数。特别地，球面与伪球面分别是黎曼几何与罗氏几何中极具代表性的曲面。本文中，我们给出了球面与伪球面的数点异同。

在研究球面与伪球面之前，我们需要先熟知两种曲面的产生过程。为了便于观察与比较，我们还需要在代表符号上运用一定的技巧。

（一）球面

定义1在Oxz平面上，我们仅考虑z轴右方的半平面（x≥0），曲线（C）上任意一点到原点O的距离始终保持定长R，则此曲线称作半圆线。

易知，半圆线的方程为x=Rcosθ，-■≤θ≤■，z=Rsinθ，-∞

其中θ为半径与x轴所成的角。若把上述半圆线绕z轴旋转一周，所得的旋转面称作球面。它的参数表示是

x=Rcosθcos？渍，-■≤θ≤■，y=Rcosθcos？渍，0≤？渍≤2π，z=Rsinθ，-∞

令球面■={Rcosθcos？渍，Rcosθsin？渍，Rsinθ}，则可由知球面的第一、二基本量分别为E=R2，F=0，G=R2cos2θ，L=R，M=0，N=Rcos2θ，即有球面的第一基本形式I=R2dθ2+R2cos2θd？渍2，第二基本形式II=R2dθ2+Rcos2θd？渍2。

（二）伪球面

类似球面的定义，我们首先介绍Oxz平面上曳物线的定义。

定义2设曲线（C）上任意一点的切线上介于切点和轴之间的线段始终保持定长R，则此曲线称为曳物线。其方程为

x=Rsinθ，0<θ≤■，z=±R（ln tan■+cosθ），-∞

其中θ为切线与z轴所成的角。若把上述曳物线绕轴旋转一周，所得的旋转面称作伪球面。它的参数方程是

x=Rsinθcos？渍，0<θ≤■，y=Rsinθsin？渍，0≤？渍≤2π，z=±R（ln tan■+cos？渍），-∞

令伪球面■={Rsinθcos？渍，Rsinθsin？渍，±R（ln tan■+cosθ）}，则有 ■={Rcosθcos？渍，Rcosθsin？渍，±R■}，

■={-Rsinθcos？渍，-Rsinθsin？渍，±Rcosθ（■）}，

■={Rsinθsin？渍，-R，0}，

■={-Rsinθsin？渍，Rsinθcos？渍，0}，

■={-Rsinθcos？渍，-Rsinθsin？渍，0}，

■=■=■·{±R2cos2θcos？渍，±R2cos2θsin？渍，R2sinθcosθ}={±cos2θcos？渍，±cos2θsin？渍，sinθ}。

从而有伪球面的第一、二基本量分别为

E= ■· ■=R2cot2θ，F= ■· ■=0，G= ■· ■=R2sin2θ，

L=■·■= ±Rcotθ，M=■·■=0，N=■·■=±Rsinθcosθ。

即有伪球面的第一基本形式为I=R2cot2θdθ2+R2sin2θd？渍2，

第二基本形式为II= ±Rcotθdθ2±Rsinθcosθd？渍2。

（三）球面与伪球面上有关概念

在欧氏几何中，直线（线段）、角、三角形等是非常基础，极其重要的研究对象。在非欧几何中，同样要研究这些概念。而这些概念在球面与伪球面中是怎样表现出来的呢？

1.伪球面上的“直线”——测地线。通过伪球面的第一基本形式I=■（dx2+dy2）经过保角变换将其映到平面上，则其上的测地线对应于圆心在轴上的圆。现我们仅考虑Oxz平面上在x轴上方的半平面，即称为罗氏平面。罗氏平面上的半圆即称为罗氏直线。罗氏平面上的任意两点恰好由一条罗氏直线连结，通过保角变换，它们对应伪球面上的两点。相应地，连结伪球面上的两点只有唯一一条测地线，这与欧氏平面上两点连一直线亦很相似，所以，我们把伪球面上的测地线称为伪球面上的“直线”。

2.伪球面上过一点A引两条“射线”（测地线弧）AB和AC，它们所构成的图形称作伪球面上的角，记作伪球面∠BAC，A，称作“角”的顶点，测地线弧AB，AC称作“角”的边。

二、球面与伪球面的相同之处

我们看到，球面与伪球面的第一、二基本量均不相同，但注意到球面中，而伪球面中EG=R2·R2cos2θ=R4cos2θ，这在某种意义上说是相同的，即均为定长的4次方与第一变角θ的余弦的平方的乘积。同样地，球面上LN=R·Rcos2θ=R2cos2θ，伪球面上LN=？芎Rcotθ·（±Rsinθcosθ）=-R2cos2θ，其绝对值在某种意义上可以说是相同的，它们只是符号相反。这让我们不禁联想到了Gauss曲率的一个计算公式K=■，可以得到球面上K=■，为正常数，伪球面上，为负常数，这在一定意义上也可以说是相同的。

有了第一基本量，我们很自然地想到利用公式？滓■■dudv（积分区域D-（u，v）平面的区域）来得到曲面的面积。不难验证球面的面积为S球=4πR2。

现在我们来得到伪球面的面积，试与球面比较。由于伪球面中所定义的θ角的特殊性，以及伪球面关于xoy面的对称性，我们先计算曳物线z≥0部分所扫过的面积

S1=■■dθdv

=■■R2cosθdθd？渍

=2πR2■cosθdθ

=2πR2

故整个伪球面面积即为S=2S1=4πR2。显然，这与球面面积公式相当的吻合，均为定长的平方的4π倍。这也充分表明了只要（伪）球面的（虚）半径给定，那么它们的面积为定值，并且是有界的，从而也有其上的三角形的面积也是有界的。

在非欧几何中，已经不存在相似三角形，所以，球面三角形与伪球面三角形均是要么全等，要么不同。平面三角形全等的判定定理有（s，s，s），（s，a，s），（a，s，a），（a，a，s），这些定理在球面与伪球面中同样成立，因为它们的证明与第五公设无关。值得注意的是平面三角形中证明两三角形相似的（a，a，a）定理。在球面与伪球面中已不存在相似三角形，那么（a，a，a）定理能否成为证明两球面三角形或两伪球面三角形全等的工具呢？回答是肯定的。

总之，球面与伪球面作为非欧几何中的典型代表，有着许多相同之处。而作为非欧几何的两个分支，它们又有着很大的不同。它们的发展仍未达到完善，需要进一步地研究与探索。我们应该继承和发扬前辈数学家的勇于创新，坚持不懈的精神，在数学王国中贡献自己的力量。

参考文献：

1.梅向明、黄敬之，《微分几何》（第三版）[M]，高等教育出版社，2003

2.王申怀，《平面几何与球面几何之异同》[J]，数学通报，2006

3.李忠，《非欧几何及其模型》[J]，《数学通报》，2005

4.李忠，《非欧几何及其模型》（续）[J]，《数学通报》，2005

5.李光汉，《球面几何及其应用》[J]，《中学数学》，2005

【责编 田彩霞】