对成人教育实变函数课程的教学思考

张茂柱

摘 要：本文从采用启发式教学方法、结合实际应用背景、与同类课程比较联系三个方面阐述了如何提高成教学生学习实变函数的积极性。

关键词：实变函数；启发式教学；微积分

在现代社会中，成人基于其认知兴趣、职业发展、社会服务等学习动机，通过各种正规、非正规的途径获取新的知识和技能，从而使知识结构发生变化。在高等院校成人教育数学专业中，实变函数是一门重要的专业基础课程，对于掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维能力和数学表达能力、加深对数学分析知识的理解、深化对中学数学有关内容的认识有着深远的影响。

然而，实变函数理论的抽象性和困难性，使得学生学习难度很大。另外，基于成人教育学生的现状，学生不可能对这种高度抽象的理论感兴趣。因此，有必要改变传统的教学方法，以提高学生学习实变函数的积极性。

一、采用启发式教学方法，激发学生学习的兴趣

实变函数研究的主要对象是勒贝格积分理论，此积分理论的建立经历了很长的奠基过程，包括集合理论、测度理论、可测函数理论等，从而进一步建立了新的积分理论。但只是笼统地这样解释对学生而言过于抽象，我们可以通过提出问题，一步步地引导学生学习相关理论。如在数学分析中见过的Dirichlet函数，它不是连续函数也不是可积函数，但是我们发现函数值为1的点集为有理点集，函数值为0的点集为无理点集。这两个集合很不规则，那么这些集合是否可测量？如果可测量的话，如何度量这些不规则的集合的“长度”呢？这就是集合的可测性问题。接下来，我们利用可测集研究函数的性质，得到了一类较广泛的函数类——可测函数。这一函数不是Riemann可积的，能否建立新的积分理论来研究此类函数的可积性？通过这一系列的讲解，让学生明白实变函数是数学分析的推广和继续，是近代分析数学的基础理论，具有重要的理论价值。

在课堂教学中穿插一些数学典故、名人故事和一些定理證明来龙去脉的讲授，能大大提升学生的学习兴趣。比如我们在讲授实变函数的产生的时候，就从如下的数学问题开始讨论“连续函数除个别点以外是可微的”是否正确？维尔斯特拉斯就构造了一个函数并且证明了这个函数在任何一点都不可导，这个结论促使人们研究函数的更多性质，哪些函数是连续的，哪些函数是可导的，哪些函数是可以积分的，是否要修改积分的定义等等，这就促使了实变函数的诞生。也可以在讲授积分内容的时候引入勒贝格和黎曼的一些经典典故来提高学生的学习兴趣。

二、结合实际讲解相关理论，提高学生学习的积极性

实变函数的概念多而杂，学生学习起来感觉枯燥无味。如果能在教学中加入一些恰当的应用实例，让成人学生感觉到复杂定义背后深刻的应用背景，这样容易激发学生学习的积极性和主动性，提高学生学习的效果。如在讲到有限函数与非有限函数时，学生容易对在某点取值为无穷的函数感到困惑，认为不可能存在这样的函数，并且这在中小学是不可能的一件事。事实上，这样的函数确实存在，如在量子力学中的无限深方势阱函数v（x）=0，0

在教学中，还可酌情增加部分内容让学生体会所学内容与生活联系。比如在讲授康托集的时候，可以提问我国的海岸线有多长、雪花的周长等于多少等系列问题，进一步引出维数是否都是整数；通过提问如何描述测量时的尺度等引出法国数学家芒德勃罗所开创的现代非常流行的现代分形几何学；在描述测度和积分的时候，可以引入随机测度和伊藤积分等内容，随机微分方程是现代金融数学的一个十分重要的工具，利用它可以建立期货、股票、债卷等金融衍生工具的研发模型，预测一些重要的经济形势和走向；在讨论空间理论时，可以引出索伯列夫空间理论，通过构造合适的空间并建立相应的完备化理论，简单介绍山路引理等现代变分理论在研究哈密顿系统周期解方面取得的进展。

三、与数学分析、点集拓扑学等课程类比联系，加深学生对概念理论的理解

实变函数是数学分析的深化和扩展，是在更广阔的背景下讨论微积分的课题。因此，在学习类似概念的时候要注意它们之间的联系与区别。例如：几乎处处成立、基本成立，可测函数列的几种收敛以及积分的极限定理等，特别是一致收敛、依测度收敛的概念等数学分析当中已有部分例子，理解好上述例子后，实变函数课程当中的定义证明就变得相当明了和直观。同时，建议学生通过比较学习Lebesgue积分的定义、性质，最后归纳出与Riemann积分的异同以及二者之间的关系。学生会发现实变函数里也有重积分、累次积分、变上限积分求导以及微积分基本公式等内容，理解起来就相对容易。

参考文献：

[1]夏道行.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1984.

[2]江泽坚.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，1961.

[3]曹广福，等.实变函数论与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2004.