高考解题中的数学思想

郭平丽

摘 要：首先对什么是数学思想方法作一简述，然后重点讲解了几种常见的思想方法的含义，以及如何解决实际数学问题的具体方法步骤。最后通过讲解实例来体现数学思想方法在解决问题时的意义。

关键词：函数；方程；数形结合；分类讨论；化归与转化

学习数学的主要目的是培养学生分析、解决问题的能力，同时也使学生在数学学习的过程中形成严谨的思维习惯。那如何才能有更加灵活的解题思维呢？下面我们就从数学思想这个层面来阐述高考解题技巧。

一、函数与方程的思想

函数思想，就是运用函数的观点，去分析和研究数学问题中的等量关系，构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，从而使问题获得解决的思想。方程的思想是分析数学中变量间的关系，从而建立方程，通过解方程或方程组，使问题获得

解决。

例1.已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，若对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围为 。

【解析】2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+■，

设h（x）=2lnx+x+■（x>0），则h′（x）=■，

当x∈（0，1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增。

∴h（x）min=h（1）=4.

∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤h（x）min=4.

【答案】（-∞，4]

二、数形结合思想

数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题和图形的性质互相转换。数形结合思想通过形数相助，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学规律性与灵活性的有机结合。

例2.方程（■）x-sinx=0在区间[0，2π]上的实根个数为（ ）

A.1 B.2

C.3 D.4

【解析】方程解的个数可构造两个函数，使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题，但用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性。

【答案】B

三、分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法的数学思想，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

例3.当0

A.（0，■） B.（■，1）

C.（1，■） D.（■，2）

【解析】由题意得，当01时，不符合题意，舍去，所以实数a的取值范围是

■

【答案】B

四、化归与转化思想

转化与化归是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的一种思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。

例4.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为■，则球心O到平面ABC的距离为（ ）

A.■ B.■

C.■ D.■

【解析】由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：

球心O到平面ABC的距离？圳正三棱锥O-ABC的高？圳正方体的对角线。

由此，可得出球心O到平面ABC的距离=棱长为1的正方体对角线的■=■。

【答案】B

数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，然而数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是形成学生良好的认知结构的纽带。

参考文献：

高长玉.数学思想方法在数学教学中的渗透.中小学数学，2002-01.

（作者单位 山西省平遥现代工程技术学校）