关于高三排列组合问题复习的几点反思

佐春梅 尹淑卯

摘 要：排列与组合问题的熟练掌握和精通，对后续概率的学习起到非常重要的作用。高中数学中遇到的排列与组合计数问题主要可以归纳为以下六类，即含特殊元素型、有相同元素型、元素相邻型、元素不相邻型、分堆型、涂色型问题。而每一类型都有着其特有的解题策略与方法。

关键词：排列与组合；分类加法原理；分步乘法原理

关于排列与组合问题的解决是要讲究方法和策略的。首先，要认真审题，弄清楚是完成“什么样的一件事”。其次，要分析出完成的“这件事”是属于哪一类排列与组合问题，即先从整体上给出一个定性的分析。最后，要思考“怎样完成这件事”：结合各类排列与组合问题其特有的解题策略和两个计数原理即分类加法、分步乘法计数原理进行计数。一个排列与组合问题解决的对与错还应该注意以下两点：首先，思考、分析、解决问题要做到不重复、不遗漏，要缜密、要全面。其次，分析清楚某一问题是排列还是组合，还是先组合后排列。区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。高中数学中遇到的排列与组合计数问题主要可以归纳为以下六类，而每一类都有着特有的解题策略与方法。下面我们借助具体的例题进行讲解。

一、“含特殊元素”的排列组合问题——采取特殊元素优先考虑法

例1.现从甲、乙、丙等6名工人安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两人中安排，则有多少种不同的安排方案？

解：此题中有两个特殊位置，第一道工序和第四道工序。一个特殊的人——“甲”。所以可以考虑先从甲入手，甲的位置有三类，然后再考虑第一、四道工序的安排。

第一类：甲在第一道工序，这时有C11·C11·A24=12（种）排法；第二类：甲在第四道工序，这是有C11·C11·A24=12（种）排法；第三类：甲不在第一道工序也不在第四道工序，这时有C11·C11·A24=12（种）排法。利用分类加法计数原理知，总共有N=12+12+12=36种不同的分配方案。

变式1：有3名男生，4名女生，求全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，有多少种不同的排法？

解：“甲”元素受限制、比较特殊优先排。先排甲有A15=5种排法，再排其他人有A66=720种排法。根据分步乘法计数原理，共有 种排法。

二、“含相同元素”的排列组合问题——采取给为相同元素找位置的方法

例2.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有多少种不同的排法？

解：此题同色球不加以区分，导致有相同元素，排列时相同元素间无顺序之分，因此相同元素按组合问题选位置。

分三步：第一步，排2个红球，有C29=36（种）排法；第二步，排3个黄球，有C37=35（种）排法；第三步，排4个白球，有C44=1（种）排法.利用分步乘法原理，总共有N=36×35×1=1260种排法。

变式2：把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是多少？

解：此题实质是“含相相同元素”的排列问题.考虑“e、o、r、r、r”排成一列共有C15·C14·C33=20排法，其中拼写正确的只有1种，所以把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错有20-1=19种。

三、“元素相邻型”的排列组合问题——采取“捆绑法”，即将相邻的元素视为一个整体参与其他元素的排列，同时注意捆绑元素内部排列

例3.有3名男生，4名女生，求全体排成一排，女生必须相邻有多少种不同的排法？

解：先把4名女生合在一起看作一个元素，和3名男生参加全排列共有A44=24种排法，然后4名女生局部排列共有A33=6种

排法，根据分步计数原理，共有N=24×6=144种排法。

四、“元素不相邻型”的排列组合问题——采取“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中

例4.有3名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻有多少种不同的排法？

解：4名女生不受限制，则先排4名女生有A44=24种排法，然

后将3名男生插入4名女生产生的5个空档中，有A35=60种排法。根据分步乘法计数原理，共有N=A44·A35=1440种排法。

变式3：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有6架歼-15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须前后相邻，而丙、丁两机不能前后相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？

解：“相邻与不相邻”的混合型问题，捆绑法和插空法相结合。设其他两机为A，B。先将甲、乙合在一起看作一个元素，和A，B参加全排列共有A33=6种排法，然后甲、乙局部排有A22=2种排法，最后将丙、丁插入甲、乙合在一起看作一个元素和A，B产生的4个空挡中，有A24=12种插入法。由分步乘法计数原理N=A33·A22·A24=144种方法。

五、“分堆型”的排列组合问题——需要注意辨别是“平均分组”还是“非平均分组”

平均分组型是指把k、n个不同元素平均分成k组，每组n个元素，共有■种不同的分法，其特点是每堆的个数相同。

非平均分组型是指n个不同元素分成个数为n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n·Cn2n-n1·Cn3n-n1-n2·L·

Cnknk种不同的分法，其特点是每堆的个数都互不相同。

例5.六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？

（1）分成三堆，每堆两本；

（2）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（3）分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。

解：（1）按照平均分堆的计算公式，共有■=15种分法。

（2）按照非均匀分堆的计算公式，共有C16·C25·C33=60种分法。

（3）均匀分堆和排列相结合.先把六本不同的书均匀分成三堆有■=15种分法，再把这三堆分别给甲乙丙三人有A33=6种分法。由分步乘法原理N=■·A33=C26·C24·C22=90种分法。

（4）非均匀分堆和排列相结合。先把六本不同的书分成个数分别为1，2，3的不均匀三堆有C16·C25·C33=60种分法，再把这三堆分别给甲乙丙三人有A33=6种分法。由分步乘法原理N=C16·C25·C33·A33=360种分法。

（5）注意此题中涉及的“至少问题”实际上是一个隐性的分堆问题。

如图，六本不同的书，甲、乙、丙每人至少一本，则剩下的三本书有三种给法，都给同一个人，或者分给两个人，或者分给三个人，相应六本书有三种分堆法即三堆个数为4，1，1或者3，2，1或者2，2，2.因此分三类完成。第一类，六本不同书分成每堆个数分别为4，1，1的三堆，然后分给甲、乙、丙，则有C46·1·A33=90种分法；第二类，六本不同书分成每堆个数分别为3，2，1的三堆，然后分给甲、乙、丙，则有C36·C23·C11·A33=360种分法；第三类，六本不同书分成每堆个数分别为2，2，2的三堆，然后分给甲、乙、丙，则有■·A33=90种分法。由分类加法原理得N=90+360+90=540种分法。

六、“涂色型问题”——根据某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数，其实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解

例6.某市在中心广场建造一个花圃，花圃分为5个部分，现要栽种4种不同颜色的花，要求每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？

解：根据2、4部分同色与不同色分两类。

第一类，2、4部分同色时。先种1号地有4种种法，再种2、4部分有3种种法，然后种5号地有2种种法，最后种3号地有2种种法。由分步乘法计数原理知，此类有4×3×2×2=48种种法。

第二类，2、4部分不同色时。先种1号地有4种种法，再种2、4部分有A23=6种种法，然后种5号地有1种种法，最后种3号地有1种种法。由分步乘法计数原理知，此类有4×6×1×1=24种

种法。

综上，根据分类加法原理知N=48+24=72种种法。

变式4：四棱锥P-ABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据例6，共有72种涂法。

参考文献：

任志鸿.高考专题复习模块高手：数学.概率统计与导数积分.知识出版社，2009.

（作者单位 宁夏回族自治区银川育才中学）