立体几何·空间向量

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. [a，b]是夹角为[30°]的异面直线，满足条件“[a?α，b?β，]且[α⊥β]”的平面[α，β]（ ）

A. 不存在 B. 有且只有一对

C. 有且只有两对 D. 有无数对

2. 已知向量[a=（8，x2，x）]，[b=（x，1，2）]，其中[x>0]. 若[a∥b]，则[x]的值为（ ）

A. 8 B. 4 C. 2 D. 0

3. 已知[a=（2，-1，3），][b=（-1，4，-2），][c=（7，5，λ），]若[a，b，c]三个向量共面，则实数[λ]等于（ ）

A. [627] B. [637] C. [647] D. [657]

4. 如图，已知空间四边形[ABCD]的每条边和对角线长都等于[a]，点[E，F，G]分别为[AB，AD，DC]的中点，则[a2]等于（ ）

A. [2BA]·[AC] B. [2AD]·[BD]

C. [2FG]·[CA] D. [2EF]·[CB]

5. 已知空间四边形[OABC]，其对 角线为[OB，AC，M，N]分别是边[OA，CB]的中点，点[G]在线段[MN]上，且使[MG=2GN]，则用向量 [OA]， [OB]， [OC]表示向量 [OG]正确的是（ ）

A. [OG]=[OA]+[23OB]+[23OC]

B. [OG]=[12OA]+[23OB]+[23OC]

C. [OG]=[16OA]+[13OB]+[13OC]

D. [OG]=[16OA]+[13OB]+[23OC]

6. 有以下命题：①如果向量[a，b]与任何向量不能构成空间的一个基底，那么[a，b]的关系是不共线；②[O，A，B，C]为空间四点，且向量 [OA]， [OB]， [OC]不构成空间的一个基底，那么点[O，A，B，C]一定共面；③已知[{a，b，c}]是空间的一个基底，则[{a+b，a-b，c}]也是空间的一个基底. 其中正确的命题是（ ）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ①②③

7. 二面角[α-l-β]为[60°]，[A，B]是棱[l]上的两点，[AC，BD]分别在半平面[α，β]内，[AC⊥l]，[BD⊥l]，且[AB=AC=a]，[BD=2a]，则[CD]的长为（ ）

A. [2a] B. [5a] C. [a] D. [3a]

8. 空间中一条线段[AB]的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，线段[AB]的长度的取值范围是（ ）

A. [0，2] B. [2，5]

C. [2，3] D. [2，10]

9. 若[O]为坐标原点，[OA=（1，1，-2）]，[OB=][（3，2，8）]，[OC=（0，1，0）]，则线段[AB]的中点[P]到点[C]的距离为（ ）

A. [1652] B. [214] C. [53] D. [532]

10. 已知平面[α]的一个法向量[n=（-2，-2，1）]，点[A（-1，3，0）]在[α]内，则[P（-2，1，4）]到[α]的距离为（ ）

A. [10] B. [3] C. [83] D. [103]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若向量[a=（1，λ，2）]，[b=（-2，1，1）]，[a，b]夹角的余弦值为[16]，则[λ=] .

12. 已知空间四边形[OABC]，点[M，N]分别是[OA，BC]的中点，且 [OA=a]， [OB=b]， [OC=c]，用[a，b，c]表示向量[MN]= .

13. 在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点[A1]到截面[AB1D1]的距离为 .

14. 给出命题：①若[a]与[b]共线，则[a]与[b]所在的直线平行；②若[a]与[b]共线，则存在唯一的实数[λ]，使[b=λa]；③若[A，B，C]三点不共线，[O]是平面[ABC]外一点， [OM]=[13OA]+[13OB]+[13OC]，则点[M]一定在平面[ABC]上，且在[△ABC]的内部. 其中真命题是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a=（a1，a2，a3）]，[b=（b1，b2，b3）]，且[a≠b]，记[|a-b|=m]，求[a-b]与[x]轴正方向的夹角的余弦值.

16. （10分）如图所示，已知空间四边形[ABCD]的各边和对角线的长都等于[a]，点[M，N]分别是[AB，][CD]的中点.

（1）求证：[MN⊥AB]，[MN⊥CD]；

（2）求[MN]的长.

17. （12分）直三棱柱[ABC-A′B′C′]中，[AC=][BC=AA′]，[∠ACB=90°]，[D，E]分别为[AB，BB′]的中点.

（1）求证：[CE⊥A′D]；

（2）求异面直线[CE]与[AC′]所成角的余弦值.

18. （12分）如图1，四棱锥[P-ABCD]中，[PD⊥]底面[ABCD]，面[ABCD]是直角梯形，[M]为侧棱[PD]上一点. 该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示.

（1）证明：[BC⊥]平面[PBD]；

（2）证明：[AM]∥平面[PBC]；

（3）线段[CD]上是否存在点[N]，使[AM]与[BN]所成角的余弦值为[34]？若存在，找到所有符合要求的点[N]，并求[CN]的长；若不存在，说明理由.

[图1][图2][俯视图][侧（左）视图] [2][3][1] [4]