平面向量·概念及运算

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 给定下列命题中：①相互平行的两个向量的方向相同或相反；②长度相等且方向相反的两个向量是相反向量；③共线向量是平行向量；④长度为零的向量叫做零向量，它没有方向. 其中真命题的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

2. 若[AB=（2，4），AC=（1，3）]，则[BC=]（ ）

A. [（1，1）] B. [（-1，-1）]

C. [（3，7）] D. [（-3，-7）]

3. 设[OA=a，OB=b]，且[a]与[b]不共线，点[P]在线段[AB]上，且[AP∶BP=2∶1]，则[OP=]（ ）

A. [13a-23b] B. [23a+13b]

C. [13a+23b] D. [23a-13b]

4. 已知向量[a=（1，3），b=（3，n）]，若[2a-b∥b]，则实数[n]的值是（ ）

A. [3+23] B. [9]

C. [6] D. [3-23]

5. 在平行四边形[ABCD]中，[O]为对角线交点，[E]为线段[OD]的中点，[AE]的延长线与[CD]交于点[F]，若[AC=a，BD=b]，则[AF=]（ ）

A. [14a+12b] B. [13a+23b]

C. [12a+14b] D. [23a+13b]

6. 给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若[a=b]，则[a=b]；③若[AB=DC]，则四点[A，B，C，D]构成平行四边形；④在平行四边形[ABCD]中，恒有[AB=DC]；⑤若[m=n，n=p]，则[m=p]；⑥若[a∥b，b∥c]，则[a∥c]. 其中不正确命题个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7. 如图所示，在[ΔABC]中，[BD=12DC，][AE=][3ED]，若[AB=a，AC=b]，则[BE=]（ ）

A. [13a+13b] B. [-12a+14b]

C. [12a+14b] D. [-13a+13b]

8. [ΔABC]的三内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，已知[sinB=1]，且向量[p=（a，b）]，[q=（1，2）]，若[p∥q]，则[∠C=]（ ）

A. [30?] B. [60?]

C. [90?] D. [120?]

9. 已知集合[M={1，2，3}，N={1，2，3，4}]，定义函数[f：M→N]，点[A（1，f（1）），B（2，f（2））]，[C（3，f（3））]，若[△ABC]的内切圆圆心为[D]，且[DA+DC=λDB][（λ∈R）]，则满足条件的函数有（ ）

A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 16个

10. 定义域为[[a，b]]的函数[y=f（x）]图象的两个端点为[A，B]，[M（x，y）]是[f（x）]图象上任意一点，其中[x=][λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]]. 已知[ON=λOA+][（1-λ）OB]，若不等式[|MN|≤2k]恒成立，则称[f（x）]在[[a，b]]上“[k]阶线性近似”.若[f=x-1x]在[[1，2]]上“[k]阶线性近似”，则实数[k]的取值范围为（ ）

A. [[0，+∞）] B. [[112，+∞）]

C. [[32+2，+∞）] D. [[32-2，+∞）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[a=（3，4）]，将它向左移动两个单位，又向上移动一个单位，则[a=] .

12. 给出下列命题： ①[a=b]的充要条件是[a=b]且[a∥b]；②若向量[a，b]同向，但[a>b]，则[a>b]；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任何向量平行；④若向量[a∥b]，则[a，b]方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的相反向量不相等.其中真命题的序号是 .

13. 若[a+λb]与[b-2a]平行，则[λ=] .

14. 设向量[a=（1，2），b=（2，3）]，若向量[λa+b]与向量[c=（-4，-7）]共线，则[λ=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a，b]是两个不共线的向量，已知[AB=2a-8b，CB=a+3b，CD=2a-b].

（1）求证：[A，B，D]三点共线；

（2）若[BF=3a-λb]，且，求[λ]的值.

16. （10分）已知向量[OA=（3，-4），OB=（6，-3），][OC=（5-t，-3-t）].

（1）若[A，B，C]三点共线，求实数[t]的值；

（2）若[∠ABC]为锐角，求实数[t]的取值范围.

17. （12分）已知三点[O（0，0），A（1，2），B（4，5），][OP=OA+][tAB].

（1）[t]为何值时，点[P]在[x]轴上？

（2）[t]为何值时，点[P]在第二象限？

（3）四边形[ABOP]能否构成平行四边形？若能，求出[t]的值；若不能，说明理由.

（4）求点[P]的轨迹方程.

18. 已知[O]为坐标原点，向量[OA=（sinα，1），][OB=（cosα，0），OC=（-sinα，2）]，点[P]满足[AP=PB].

（1）记函数[f（α）=PB?CA，α∈（-π8，π2）]，讨论函数[f（α）]的单调性，并求其值域；

（2）若[O，P，C]三点共线，求[OA+OB]的值.