导数·概念及运算

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 函数[y=x2]从[1]到[1+Δx]内的平均变化率为（ ）

A. [2] B. [Δx+2]

C. [（Δx）2+2Δx] D. [Δx+2+1Δx]

2. 水以恒速注入右图的容器中，则容器中水的高度[h]与时间[t]的函数大致图象是（ ）

[A B][C D]

3. 已知[f（2）=2，][f（2）=-1，]则[limΔx→0f（2-Δx）+Δx-2Δx]为（ ）

A. [-1] B. [0] C. [1] D. [2]

4. 已知[f（x）=14x2+sin（π2+x）]，[f（x）]为[f（x）]的导函数，则[f（x）]的图象是（ ）

[A B][C D]

5.已知[g（x）]为三次函数[f（x）=a3x3+ax2+cx]的导函数，则[g（x）]与[f（x）]的图象可能是（ ）

[A B][C D]

6. 若直线[y=x-3]与曲线[y=ex+a]相切，则实数[a]的值为（ ）

A. [-4] B. [-2]

C. [2] D. [4]

7. [01（1-（x-1）2-x）dx]等于（ ）

A. [π-24] B. [π-22]

C. [π-12] D. [π-14]

8. 由曲线[xy=1]直线[y=x]，[y=3]所围成的平面图形的面积为（ ）

A. [329] B. [-ln3]

C. [4+ln3] D. [4-ln3]

9. 已知点[P]在曲线[y=4ex+1]上，[α]为曲线在点[P]处的切线的倾斜角，则[α]的取值范围是（ ）

A. [0，π4] B. [π4，π2]

C. [π2，3π4] D. [3π4，π]

10. 在求[12（x-1）dx]的精确度为0.001的近似值时，至少要把区间[[1，2]]平均分成（ ）

A. 10000等份 B. 1000等份

C. 100等份 D. 10等份

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[f（x）=2xlog2（-x）]，则[f（-1）]= .

12. 计算定积分[-11（x2+sinx）dx=] .

13. 已知曲线[f（x）=xn+1]（[n∈N*]）与直线[x=1]交于点[P]，设曲线[y=f（x）]在点[P]处的切线与[x]轴交点的横坐标为[xn]，则[log2013x1+log2013x2+…+][log2013x2012]的值为 .

14. 设半径为[r]的气球的体积为[V]，则气球的瞬时膨胀率为 ，它的意义是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）根据定义求函数[f（x）=1x2]的导数.

16. （10分）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数[y=f（x）]中，令[x=φ（t）]，则[abf（x）dx=][t1t2fφ（t）dφ（t）=t1t2fφ（t）φ（t）dt（a=φ（t1） ， b=φ（t2））].利用上述方法证明椭圆的面积公式[S=πab]（[a，b]分别为椭圆的长半轴长、短半轴长）.

17. （12分）已知函数[f（x）=13x3+ax2+（a2-1）x][+1][（a∈R，a≠0）]的导函数图象是下图之一.

[①②][③④]

（1）求曲线[y=f（x）]过点（0，1）的切线方程；

（2）求曲线[y=f（x）]与直线[x+3y-1=0]垂直的切线方程.

18. （12分）设函数[f（x）=ax2+abx+1x+b][（a，b∈Z）]，曲线[y=f（x）]在点[（2，f（2））]处的切线方程为[y=3].

（1）求[f（x）]的解析式；

（2）证明曲线[y=f（x）]上任意一点的切线与直线[x=1]和直线[y=x]围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.