巧妙求解抽象函数定义域

2013-04-29周学慧

今日湖北·中旬刊 2013年7期

周学慧

摘要求抽象函数的定义域问题的求解方法利用口诀为：“定义域不变，法则的作用范围也不变。”进行求解。关键是要找到法则的作用范围。

关键词抽象函数定义域法则作用范围复合函数取值范围。

求抽象函数的定义域是高一学生接触到函数以后遇到的比较头痛的问题，函数对于刚刚接触这部分知识的学生来说就很抽象，而抽象函数没有给出函数的具体解析式，正是因为抽象函数表现形式的抽象性让学生们感到很迷惑，使同学们在解决此类问题时感觉无从下手。而求抽象函数定义域在高考中一般以选择.填空的形式出现，不能忽视。因此，我在解决此类问题时总结了一句口诀，用口诀让学生们进行记忆既简单又加深了学生们的理解。

口诀为：“定义域不变，法则的作用范围也不变。”

一、已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域

例1 已知函数f（x）的定义域为[-2，1]，求函数f（x+1）的定义域。

在解决这道题时我利用口诀“定义域不变，法则的作用范围不变。”分析如下：对于函数f（x），法则f只对x发生作用，x的取值范围就是法则f的作用范围，即法则f的作用范围在[-2，1]。从函数f（x）到f（x+1），法则没有发生改变，因此法则的作用范围仍然在[-2，1]，而在函数f（x+1）中，法则是对x+1发生了作用， x+1在法则f的作用范围内，所以对于函数f（x+1），有-2≤x+1≤1。最后求函数f（x+1）的定义域，只需将这里的x范围求出即可。因此，本题函数f（x+1）的定义域为[-3，0]。

【点评】此类问题的解题关键就是求出法则的作用范围。再根据口诀“定义域不变，法则的作用范围不变。”求解。

二、已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域

例2 已知函数f（x+1）的定义域为[-2，1]，求函数f（x）的定义域。

分析：先从求法则的作用范围入手作为解题突破口，对于函数f（x+1），法则f对x+1发生作用，x+1的范围就是法则的作用范围。因为定义域为[-2，1]，对于函数f（x+1），有-2≤x≤1，所以-1≤x+1≤2，因此得出法则f的作用范围在[-1，2]。从函数f（x+1）到f（x），法则没有改变，所以作用范围也不变，仍然在[-1，2]，而对于函数f（x），法则是对x发生作用，所以x也应该在法则的作用范围内，因此-1≤x≤2。本题函数f（x）的定义域为[-1，2]。

三、已知f[g（x）] 的定义域，求f[h（x）] 的定义域

例3 已知函数f（x-1）的定义域为[-2，1]，求函数f（x+1）的定义域

分析：求出法则f的作用范围，本题就得以解决。对于函数f（x-1），法则f对x-1发生作用，x-1的范围就是法则的作用范围。因为定义域为[-2，1]，对于函数f（x-1），有-2≤x≤1，所以-3≤x-1≤0，因此得出法则f的作用范围在[-3，0]。从函数f（x-1）到f（x+1），法则没有改变，所以作用范围也不变，仍然在[-3，0]，而对于函数f（x+1），法则是对x+1发生作用，所以x+1在法则的作用范围内，即-3≤x+1≤0，因此，-4≤x≤-1，本题函数f（x+1）的定义域为[-4，-1]。

【点评】解决第三类题型无需通过求函数f（x）作为求解桥梁，也可以把函数f（x+1）的定义域求出，关键就是求出法则的作用范围，再通过口诀“定义域不变，法则的作用范围也不变。”求解完成。

练习：

1、已知函数f（）的定义域为[0，3]，求函数f（x）的定义域及函数f（x-1）的定义域

2、已知函数f（）的定义域为[1，2]，求函数f（x）的定义域及函数f（2x）的定义域。

3、已知函数f（x+1）的定义域为[-1，2]，求函数f（）的定义域及函数f（x+1）的定义域

4、已知函数f（x）的定义域为[-3，5]，求g（x）= f（-x）+f（）的定义域。

答案：（ 1 ） [1，2] [ 2，3]

（ 2 ） [1，4] [0.5，2]

（ 3 ） [-] [-1，4]

（ 4 ） [-]

【说明】对于练习题4，求有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域，先求出每个函数的定义域，再求它们的交集。

下面是历年各省市高考模拟题中出现的此类题目：