多种方法灵活求解平面向量问题

刘胜男

平面向量高中数学中的重点内容，也是高考中的难点，其解法涉及代数方法、几何意义的应用.常用方法如下：第一种方法，向量的转化，即用其他向量（基底）表示所求向量；第二种方法，运用坐标进行运算；第三种方法，几何意义（包括向量投影）的使用.三种方法各有利弊，转化法比较直接，但有时容易迷失方向；坐标运算可以使解题难度降低，转化为运算，部分题目条件充分时，可以尝试建立坐标系；而几何意义的恰当使用，会使解题变得更加直观和快捷.

下面列举几个简单的例子，说明向量方法的灵活运用对解题及拓展数学思维的帮助.

标并非数字，适用于第二种办法.常用做法如下：

方法一：

本题还有另外一种解法，相对上述方法来说不易想到，但是可以发展学生的思维.

方法二：

径的圆上的任意一点；B为定点.如下图所示.

解析：

方法一：直接转化.利用AB⊥AD，两向量数量积为0.可以得到结果，但过程较麻烦.

过C作CE⊥AD，交AD延长线于E点，

因为AB⊥AD，所以Rt△DBA∽Rt△DCE，

此题运用数量积几何意义，可将所求直接与已知条件相联系，上述描述过程看似麻烦，但因为是填空题实际运算中不必书写过程，运用向量的投影可减少运算时间，提高运算速度.

解析：本题较简单，用多种方法能顺利求得结果.对比多种方法可以选择最佳方法解题.

方法一：直接运用公式.

由勾股定理，有AB⊥AC，

优点：思考过程简单；缺点：向量方向需注意，夹角为钝角，符号易错.

方法二：转化.利用垂直时，向量数量积为0.

方法三：建系，转化为坐标运算.

由勾股定理，有AB⊥AC，故以A为坐标原点，AC、AB分别为x轴、y轴建立直角坐标系.

由AB=3，AC=4，则A（0，0），B（0，3），C（4，0），

优点：运算过程简单，方法也不难想到.明显优于上述另外两种做法.

上述四个例子，从侧面反映了在平面向量的解题过程中，灵活地选择恰当的方法，会使解题难度和运算量大幅度下降，可以为学生在考试中争取更多时间.因此，在平时的教学过程中，教师应该注意多种思维方法的渗透，争取一题多解，并多加分析和总结，逐步培养学生灵活使用各种方法的能力.