用残缺题导引学生探究

卢良芳

摘要：数学课堂要充分体现“自主合作、交流共享”的生态课堂理念，教师要营造互相激发、共同参与、质疑探究的浓郁的学习氛围，实现师生在不知不觉中共同发展、持续发展与和谐发展的课堂追求。本文通过一道残缺题的修补、解答、拓展、探究，展示了学生参与课堂、小组合作的全过程。

关键词：残缺题；生态课堂；工程问题

中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）08-070-2一、教学背景

2009年10月，张家港市教育局黄大龙副局长申报了2009年教育部立项课题“新课程背景下生态课堂案例研究”，并获得批准。我校有幸成了课题组的研究成员单位，从此，我校的课堂教学随之发生了根本的变化。从形式上主要实现了三方面的转变（1）教师的教学由注入式教学向启发式教学转变；（2）学生由被动听课向主动参与转变；（3）课堂教学单纯的知识传授向智能并重转变。最终的目标是达到课堂是高效益的课堂、生态的课堂。2012年10月，在一次课题成果汇报活动中，课题组安排我上一节生态课堂的展示课，要求能充分体现“自主合作、交流共享”的生态课堂的理念，营造互相激发、共同参与、质疑探究的浓郁的学习氛围，实现师生在不知不觉中共同发展、持续发展与和谐发展的课堂追求。

二、教学设计

根据当时的教学进度，我安排了一堂初一年级的应用题的教学课，课题是《用一元一次方程解决问题》——工程问题。

1.教学目标

知识与技能

理解工程问题中工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，尝试用一元一次方程解决有关工程类问题。

过程与方法

学生经历小组讨论，自行观察、操作、思考，组内交流，全班展示等活动，充分感受数学建模的过程和思想，提高分析问题和解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观：

学生通过参与师生活动、生生活动等教学环节，养成良好的学习习惯、学习态度以及合作意识。进一步体会数学来源于生活，服务于生活的道理，提升学习数学的兴趣以及运用数学的意识。

2.问题提出

上课后，我出示了如下问题：

课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“在我市某城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标。经测算：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天。”就因校长叫他接听一个紧急电话而暂时离开教室，留下的残缺题你能帮他补齐吗？

请你们四人一组开展讨论，提出你们的问题。

三、教学过程

对于题型1，班内一名男生一下子设需x小时完成，从而引出方程，出乎意料，我及时表扬了他。我又问他：“你是根据什么列出方程的呢？”，从而由“工作量=工作效率×工作时间”而引出表格：工作效率工作时间工作量甲工程队160xx60乙工程队190xx90根据等量关系很容易的得到了方程x60+x90=1，从而解得x=36。

对于题型2，小组内的讨论非常热烈，各小组内部以及小组与小组之间产生了不同意见，探究活动就此展开。（1）有哪个工程队先做？（2）先做多少天？

在充分讨论的基础上，各组达成共识：（1）分两种情况讨论；（2）先做30天。

于是就出现了如下问题：

①在我市某城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标。经测算：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天。若由甲工程队先做30天，那么，余下的工程由甲、乙两个工程队合作做还需要几天才能完成？

问题呈现以后，各小组很快进行了解答。交流、展示后，问题很快得到了解决。

简解①：设甲、乙两个工程队合作做还需要x天才能完成，则

30×160+（160+190）x=1，解得：x=18（天）。

②将“若由甲工程队先做30天”改为“若由乙工程队先做30天”，那么工期会变长还是变短？相差多少天？

我给出这个问题，希望学生能很快将①的简解过程进行修改，从而得到正确的结果。

简解②：若由乙工程队先做30天，设甲、乙两个工程队合作做还需要y天才能完成，则30×190+（160+190）y=1，解得：y=24（天）。

因此，工期会变长，相差6天。（问题的解决十分顺利，探究的效果初步体现。）

对于题型3。有了题型2的铺垫，各小组之间的意见格外统一：两个工程队合作30天，再比较由甲工程队单独完成的天数与由乙工程队单独完成的天数的差。于是我给出了如下问题：

在我市某城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标。经测算：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天。现在先由甲、乙两个工程队先合作做30天。若设余下的工程由甲工程队单独完成需要x天，由乙工程队单独完成需要y天，求y-x的值。

让我更加以外的是课堂内气氛一下子活跃起来，班级内大多数同学都希望上黑板去展示，于是我选择了一位成绩中等的同学和一位成绩相对后进的同学上去板演，他们都很快完成了：

30×（160+190）+x60=1，解得：x=10，30×（160+190）+y90=1，解得：y=15，所以y-x=5。

四、教学中的意外

正当我对上面三个题型及其解法进行小结时，有一位学生举手后提出了这样一个问题：如果完成这项工程的工程款是180万元，应该如何分配呢？

此时，教室里就象一口炸开了的锅，学生七嘴八舌，热闹非凡，场面一时有点失控。我思考片刻，马上把学生安静下来，和学生细细分析开来，课堂进入了“对话”状态。

教师：“各小组讨论一下，你们认为以怎样的标准来分配？”

教师：“甲工程队单独做一天与乙工程队单独做一天，如果所得报酬相同，公平吗？”

学生1：“因为甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天，因此以工作时间分配是不合理的。”

学生2：“甲工程队的工作效率160，乘上他们工作时间就是甲工程队的工作量，甲工程队的工作效率190，乘上他们工作时间就是乙工程队的工作量。我认为应该按工作量来分配。”

（全班鼓掌，一致同意）

教师：“请各小组计算一下，问题1中180万元的工程款，应该如何分配呢？”

……

教师：“值得表扬，计算一步到位了，而且很正确。对于问题3中180万元的工程款，应该如何分配请大家课后去完成。”

五、教师的追问

教师：“过程问题除了工作效率、工作时间和工程款以外，还有一个就是工期问题。如果上面探究的问题必须在60天之内完成，你怎么安排甲、乙两个工程队来完成这项工程呢？”

学生6：“甲工程队单独来做，正好60天完成。”

学生7：“甲、乙两个工程队先合作做几天，余下的工程由甲工程队单独完成，肯定能在60天之内完成。”

教师：“甲、乙两个工程队先合作做几天，余下的工程由乙工程队单独完成，肯定能在60天之内完成吗？”

学生8：“不一定。”

教师：“那么至少需要合作做几天，才能在60天之内完成呢？”

学生9简解：甲、乙两个工程队先合作做x天，余下的工程由乙工程队单独完成，并且正好60天完成。则（160+190）x+190×（60-x）=1，解得x=20。

所以甲、乙两个工程队至少需要合作做20天，余下的工程由乙工程队单独完成，肯定能在60天之内完成。

教师：“非常好，这为同学用方程来求解，确定一个“极限”值，然后再下结论。”（铃声响起）“我们能否用一点简单的不等式知识直接去求解呢？课后请自己思考。”

六、教学后的反思

1.本节课的教学内容从一道残缺题出发，由学生主动“创造”出问题，通过小组讨论、交流，又把问题进行了深化，再根据已有知识经验解决问题。由于学生的学习过程是按照自己已有的知识和经验建构的，从而使学生在能力上得到较大发展。充分体现人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展理念。其实同类型的题目我们平时接触的还很多。例如：（1）在四边形ABCD中，已知：AB∥CD，请补充条件（写一个即可），使四边形ABCD为平行四边形。（2）若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件（写一个即可）的四边形是菱形。这类题目解题思路类似于“分析法”，逆推其条件。当满足结论的条件不唯一时，要对条件成立的可能性适当分类，分别探索出结论成立的条件。

2.合作学习的优点充分发挥出来。通过残缺题让学生先思考甚至讨论而提出问题，让每个学生不仅可以直接参与，而且还可以充分发表自己的观点，并可以自己动手、动脑或在老师的帮助下解决问题。这不但增加了学生参与学习的机会，而且增强他们对学习的兴趣，提高他们的学习能力，让他们接受不同的观点，促进思维的发展。由于每个成员都积极参与到学习活动中，学习任务由大家共同分担，集思广益，各抒己见，人人都尽其所能，问题就变得容易解决。这样的学习不仅将学生个体间的学习竞争关系改变为“组内合作”、“组际竞争”的关系，还将传统教学中的师生之间单向或双向交流改变为师生、生生之间的多向交流，还将学生课内学习延伸到课外，拓宽了学生学习的空间。有利于增进学生的感情，培养学生的人际交往能力。有利于培养学生的自学能力和组织能力，提高学习效率。

3.开放性问题引入课堂，使学生的探究活动成为可能，极大地调动学生思维的积极性。每个学生都有获得成功的欲望，通过残缺题的添补与解答，使学生的这种欲望得以实现，思维处于高度活跃状态，往往会出现意想不到的效果。学生可以广开思路，展开联想，八仙过海，各显神通，从而发展学生的发散思维能力，培养学生的创新能力和创造性。

4.通过实际问题的教学，使学生学数学、用数学，关注生活中的数学问题。数学的知识本来就来源于生活，所以数学教学应该贴近生活。数学基于生活但又高于生活。数学不只是生活的简单“复制”和“粘贴”，而是对生活的再加工。学习数学不仅是生活的需要，同时也是学习本身的需要。在教学中不仅注重数学问题生活化，同时也应注重生活问题数学化。就目前数学教改现状而言，数学的生活化已受到越来越多的关注。

5.经过十年的教改，我能体会到：真正的课堂教学已不是学生配合、适应老师，而是老师要积极探求适合学生自主发展的教学方法。在课堂教学中，教师要树立“以人为本，主动发展”的教学理念，创设问题情境，积极开展探究性学习、合作学习，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，使课堂教学成为学生自主探究、合作交流的过程，以培养学生良好的思维习惯和创新意识。