巧用圆锥曲线第一定义

姜利丽

圆锥曲线第一定义，是个重要概念，对它的准确理解与正确运用，是学好圆锥曲线的关键.本文以椭圆和双曲线说下其应用.

一、焦半径

【例1】 设F1，F2是双曲线x216-y220=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.

分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式.

解析：由||PF1|-|PF2||=8及|PF1|=9，得|PF2|=1或17.

由2a=8，c2=36c=6知右支的顶点到F1的距离为10，而已知|PF1|=9，说明点P在左支上，此时，

|PF2|≥10，所以，点P到焦点F2的距离为17.

点评：此类问题可以是一解，也可以是两解.如，当|PF1|≥10时，有两解；当2≤|PF1|<10时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析.

二、焦点三角形

【例2】 如图，双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

其焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=n，则△ABF2的周长为 .

分析：本题中AF1，AF2，BF1，AF2都是焦半径，而△ABF2的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可求解.

解析：由

|AF2|-|AF1|=2a

|BF2|-|BF1|=2a

|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a；

由|AF1|+|BF1|=|AB|=n，∴|AF2|+|BF2|=4a+n；

故△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2n.

反思：本题结合定义，求出|AF2|+|BF2|，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？

点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要注重方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算这一大纲要求.

【例3】 设F1，F2是双曲线x24-y245=1左右两个焦点，P是双曲线左支上的点，已知|PF1|、|PF2|、|F1F2|成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2= ，点P的横坐标为 .

提示：由|PF1|+|F1F2|=2|PF2|，|PF2|-|PF1|=4，得|PF1|=6，|PF2|=10，又2c=14，由余弦定理可得cos∠F1PF2=-12，∴∠F1PF2=120°.由|PF1|=-（ex-a）=6，即-（72x+2）=6，得x=-167.

三、类比与联想

【例4】 解方程x2+4x+7+x2-4x+7=6.

分析：对第一个式子配方，得（x+2）2+3.联想两点间的距离公式，可设y2=3，此时变为（x+2）2+y2，问题即可解决.

解析：原方程可变为（x+2）2+3+（x-2）2+3=6，令y2=3，

则方程以变为（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=6，显然，点（x，y）在以（-2，0），（2，0）为焦点，实轴长为6的双曲线上，易得其方程为x29+y25=1.

由x29+y25=1y2=3，得x=±3105.

点评：本题假设y2=3，使问题很巧妙地转化为几何问题，再结合椭圆的第一定义使问题获解，这种方法体现了类比、联想思想.

四、最值问题

【例5】 如图，M是以A、B为焦点的双曲线x2-y2=2右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（ ）.

A.[26+2，+∞）

B.[26-22，+∞）

C.[26-22，26+22）

D.[26-2，+∞）

解法如下：

连结MA，由双曲线的第一定义可得：|MB|+|MC|=|MA|-2a+|MC|

=|MA|+|MC|-22≥|AC|-22=26-22，

当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值.

如果此题就到此为止，未免太可惜了，可以引导学生作如下的探究：

（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？

（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆x24+y23=1上任一点，若点M到点C 12，1 与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？

（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆x24+y23=1上任一点，若点M到点C 12，1 与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|）

分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得：

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|），当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示.对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了.

【例6】 双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.

A.（1，3） B.（1，3]

C.（3，+∞）D.[3，+∞）

分析：若能利用双曲线的第一定义，则迅速获解.解法如下：不妨设|PF2|=m，则|PF1|=2m，

故a=m，由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|可得3m≥2ce=ca≤3，∴1

圆锥曲线的第一定义这一重要概念应用广泛，应引起足够的重视.特别是求解有关圆锥曲线的最值问题时，若能根据题目的实际条件，考虑用圆锥曲线的定义来求解，就能起到出奇制胜的效果.总而言之，在教学过程中，不应轻易错过某一细节.如果能够对一些细节问题进行探究反思，就可以提高教学质量，从而提高学生的数学成绩.

（责任编辑 黄桂坚）