金融时间序列分析中小波方法应用研究

陈建志 文慧 杨淡漪 陈璐 凌语蓉

摘要：由于传统时域分析的狭隘性，能从时域和频域两个角度同时充分描绘信号物理特性的小波分析方法引起了众多学者的关注，小波分析应用于金融时间序列分析逐渐成为趋势。小波方法由于具有良好的去噪性与多分辨分析能力，能够出色地完成对非平稳序列的拟合、奇异点的定位等工作，被普遍应用于单个市场、多个市场的金融时间序列分析以及金融时间序列中非市场因素的探究等方向。本文基于小波方法在金融时间序列分析中的“应用”视角，对该领域的部分文献进行了评述与总结，并对其未来研究提出了展望。

关键词：小波分析；金融时间序列；时频方法；相关度

1.引言

金融时间序列是指将金融统计量（收益率、价格、波动等）在不同时间维度上的各个数值，按时间先后顺序排列而成的序列。金融时间序列是一种特殊的时间序列，该领域的研究在经济预测、宏观调控、资产定价领域都具有重要意义，正是由于这种特殊性使得金融时间序列分析成为学术界研究的焦点。

传统的时间序列分析模型有AR、MA、ARMA、ARIMA等模型。这类模型运用在平稳时间序列分析中有较好的效果，但金融时间序列却具有特殊的统计特性，如非平稳性、长记忆性、异方差性等，在利用上述模型时，需要对金融时间序列进行去噪处理。传统去噪分析方法（卡尔曼滤波方法、维纳滤波方法和传统滤波方法等）是基于信号光滑、噪声不光滑的假设，通过对噪声进行平滑处理来达到去噪目的，金融时间序列的特殊统计特性造成了去噪的同时部分有价值信息的失真，“失真”情况会对相关研究带来误差。小波方法的出现弥补了缺陷，它具有良好的“自适应”和“变焦”特性，能够将信号分解到不同频率通道上，再进行平滑处理后，获得失真度极低的近似平稳信号。同时，金融时间序列中的数据基本为高频数据，小波方法能更加准确地刻画和分析高频数据，对后续使用传统时间序列模型进一步分析有巨大帮助。小波分析的优势使它成为众多研究者进行金融时间序列分析的重要工具，小波方法和时间序列分析相结合的时频分析方法也成为近年来的研究趋势。随着研究的深入，小波的其他特性也逐渐被应用于更加复杂的金融市场研究中。

2.小波分析应用于单个市场金融时间序列分析

在股价以及综合指数的预测模型有AR、MA、ARMA和ARIMA模型中，较成熟的模型是ARIMA模型，ARIMA模型在平稳时间序列分析中有较好的效果，但对于非平稳时间序列效果不理想。Ramsey，Usikov，Zaslavsky（1995）用分解算法对数据进行平滑处理，得出了“去噪”后的时间序列，在研究中解决了数据非平稳的问题，并最先借助小波的“显微镜”特性，运用多尺度分析方法研究标准普尔指数观察数据的尺度特征，发现从时域和频域两个角度同时进行分析可以挖掘数据所包含的更复杂的特性，该结论使得学术界对股票价格指数的随机游走假设提出了质疑。

小波分析应用在单个金融时间序列中的研究有了理论基础，对小波分析精确度的质疑和小波应用效果的定量检验成为研究者希望解决的一个新问题。王哲、王春峰和顾培亮（1999）对上证和深证市场的股价涨跌率以墨西哥小帽状小波为基本小波进行了二进小波变换，经过多分辨分析得到结论：小波变换和多分辨分析可将数据中偶然因素排除，突出主要因素。杜建卫和王超峰（2008）采用mallat小波分解算法，对股票收盘价这一非平稳时间序列进行了数据分解后平滑处理及再重构，将整个时间序列数据分为两部分，较长区间选取作为研究相关性、溢出方向以及预测数据的样本，而剩下的区间数据作为检验的样本，以便能够对所建立模型与实证结果进行比较和检验，对小波方法预测结果、传统预测方法预测结果进行检验后，小波方法的预测结果被证实更有效。金融时间序列的“去噪”是关于平稳性的一个重要问题，在单个市场的金融时间序列研究中，单个时间序列可以拥有多个统计特性，对统计特性的研究成为了一个重要方向。徐梅和张世英（2005）分别引入了小波方差和小波协方差的分析方法研究金融波动的长记忆性。

大量应用小波方法分析股市、汇市之后，研究者开始拓宽小波方法的应用范围，将小波方法应用在其他类型单个市场的时间序列研究中。Jammazi（2011）通过应用Harr小波分析国际原油月数据价格序列，验证了小波的多分辨分析能够正确的刻画国际原油价格时间序列的波动特征。

3.小波分析应用于多个市场金融时间序列分析

在研究两个及两个以上市场的相关性以及波动溢出效应时，用传统的计量方法如GRANGER因果检验、自相关系数等，仅能得到在整个时间段内、单一频段中两个市场间的相关性以及波动溢出效应。研究者利用小波多分辨分析，将金融时间序列在不同的交易周期进行分解，分析不同交易周期下市场之间的相关性以及波动溢出效应，观察不同频率数据的能量，判断主导这些市场的是短期因素还是长期因素，能够多层次探究多个市场间的波动溢出效应。研究集中在股市与股市之间，Razdan（2004）利用连续小波变换方法中的小波相关系数指出在不同的尺度下BSE指数与NSE指数相关性不同，说明了BSE指数和NSE指数在短期、长期存在不同的关联现象。

在同类别多个市场的应用，小波分析被应用在研究者对资本市场、外汇市场等更多种类的市场的分析中。Hamrita和Trifi（2011）利用小波分析和格兰杰因果检验来分析美国市场利率、汇率和股价之间的关系，通过极大重叠离散小波变换（MODWT）对数据进行5层分解，实证发现汇市与股市之间只在低频数据尺度上（长期上）存在双向的波动溢出效应。

小波分析在国外两个市场主体之间关系研究中被大量应用，在中国国内资本市场、外汇市场的研究中，小波方法也起到了重要作用。薛超、李星野和雷蕾（2008）使用DWT中的db2小波，对沪深两市进行实证研究后发现，无论从短期还是长期来看，深证指数波动性均高于上证指数，这一结论与晏海兵（2004）使用harr小波所进行的沪深两市实证研究的结论相悖，后文的结论得出了沪市A股具有最强的波动性。造成不同研究结论的原因可能是由于两篇文章选取数据的区段不同，前文数据选取的是1998年9月30日至2006年10月31日的上深AB股的股指日数据，而后文选取的是1998年1月30日至2003年9月10日的上深AB股的股指日数据。其中，在2004至2005年发生的“股改”、“汇改”可能是造成研究结果差异的一个原因。另外，两篇文章选取的小波母函数不同，前文选择的是db2小波，而后文选择的是harr小波，这也是造成结果差异的可能原因。

谢赤、张丽和孙柏（2012）通过db6小波从不同尺度研究外汇市场与股票市场间的波动溢出效应，证明人民币汇率波动和股票价格波动的低频信号具有协整关系，创新性地发现在不同交易周期上波动溢出效应存在非一致性，短期上表现为股票市场向外汇市场的单向波动溢出，随着尺度增大，周期变长，表现为双向波动溢出。相关性研究的对象从两个市场扩充到更多市场，研究范围进一步扩大，Rua和Nunes（2009）通过小波频谱分析分解得到德国、日本、英国、美国股票市场指数等多个市场在三个尺度上的相关性系数，从时频的角度说明各国股票市场间的波动溢出效应在低频段，即长期上更为强烈。研究对象的种类从股票市场进一步扩大，Loh（2008）使用小波变换方法得到债券收益率的波动率，并以此研究其他债券市场对亚洲本币债券市场的波动溢出效应，研究结果表明较于日本债券市场，美元债券市场对于亚洲债券市场影响更加显著，同时亚洲债券市场也能同时影响更为发达的债券市场。

小波分析也被用于研究典型的具有多个市场间显著关联效应的金融危机现象。Gallegati（2010）采用小波分析发现美国成熟证券市场和新兴证券市场均受到美国次贷危机溢出效应的强烈影响，进一步的研究发现美国经济危机不仅对本国造成了巨大影响，还强烈辐射到国外其他金融市场。Marco Gallegati（2010）通过小波分析方法证实了美国2007年经济危机对世界的所有市场都造成了不同程度的影响。而在对亚洲等其他经济地区的影响的研究中，Bodart和Candelon（2009）在运用基于因果检验的频域分析来研究亚洲金融危机传染效应时，发现长、短周期上各市场间都存在危机传染效应，验证了在亚洲危机期间市场间联动性的增强更加剧了危机的传播，美国经济危机对世界的所有市场都存在着普遍影响。

4.小波分析应用于非市场因素分析

市场因素是指由市场交易状况、投资者心理、供求关系等引起的直接导致市场价格产生变化的因素。非市场因素是指除市场因素以外的如政策、突发事件等因素间接导致市场价格产生变化的因素。

小波分析捕捉时间序列奇异点的重要特性，有助于研究非市场因素，这也是小波方法研究非市场影响因素的重要手段。A.N.Sekar，Iyengar（2009）使用连续小波对美元兑欧元、美元兑英镑以及美元兑卢比的汇率数据进行处理，发现了波动率具有间歇性的特征，并通过分析发现印度政府对股市的影响要大于市场本身的影响。而对于中国而言，股权分置改革是对股票市场具有重大影响的非市场因素，余宇新和杨大楷（2004）关注中国股权分置改革前后的变化，以跟香港市场恒生指数的联系为参考标准，采用harr小波对收益率进行分解，然后比较各市场中高频和低频数据所占的能量比，确定市场的主导因素，再对高频与低频数据进行回归分析确定两个市场的相关性，得出中国股票市场在股权分置改革后长期因素的能量大大提高以及与香港市场的联系也更紧密的结论。余宇新、余宇莹和傅方兴（2011）利用harr小波实证检验了美国股市与我国股市的相关性在股改后从较小变为显著，关联程度不断加深，认为美股走势对我国股市心理影响远远大于资金流动配置层面的影响。研究的细化使得部分研究者将小波分析将股市与宏观经济联系起来探究问题，董直庆、王林辉（2008）研究上证指数与通胀周期的关系，利用小波变换频带方法，采取1991年至2007年的上证综合指数收益率月度数据，发现小波变换下证券市场与宏观经济长短周期波动存在非一致性，如通货膨胀周期和证券市场波动周期就表现出非一致性，即短周期波动相关性不稳，中周期波动反向共变，长周期波动高度负相关且通货膨胀先行。

5.研究展望

经过几十年的发展，金融时间序列分析与研究已形成了较为成熟的方法和体系。但国内较早的小波方法的应用主要集中在故障诊断、图像处理、语音信号处理和地球物理看勘探等方面，小波方法应用于金融时间序列分析起步较晚，近几年才开始逐渐兴起。金融时间序列作为市场状态的具体量化表征，对它的研究离不开市场，因此，小波方法在金融时间序列中的应用可以被进一步分为单个市场、多个市场和非市场因素这三个研究方向。

在单个市场中，小波方法较多地被应用在单个时间序列以及单个市场中金融时间序列特性等“根本性”问题，即从所研究的最简单模型出发来解决序列的非平稳性等问题。在解决了单个市场的非平稳问题后，研究扩展到小波分析的精确度等应用效果，实证检验小波分析的应用价值。最后利用小波分析挖掘更多关于金融时间序列自身的统计特性，从理论上给小波分析的应用提供基础支持。在对股票市场、外汇市场等常见市场进行大量研究之后，小波分析在其他金融市场的应用逐渐走入学者们的视野。

单个市场的研究趋于成熟，小波方法逐步推广到对多个金融市场的研究。多个市场比单个市场更为复杂，但学者们的研究由简到繁的规律与单个市场相同，研究中变量逐渐增多、市场情况逐渐复杂。但多个市场涉及到更多数量的市场，甚至可能出现多个不同种类市场的共同研究，相互关系比单个市场更加复杂，其中多个市场的小波方法应用中还包括对经济、金融危机这一特殊现象的广泛研究应用。从对单个市场的研究与对多个市场的研究这两者之间的关系来说，前者是后者的基础，后者是前者的发展。

政策、突发事件等非市场因素作为外部的金融时间序列影响因素，可以通过小波方法定位奇异点的方法来研究，有的学者在利用小波方法进行研究的过程中还吸收了其他优秀的金融理论来进行分析。

利用小波方法分析金融时间序列的内容还在不断扩充，正如前文所述，小波方法具有许多优良的特性，对研究产生了巨大的帮助。但作为一项相对较新的分析技术，它也存在着不足与隐忧，这也是研究者未来需要克服和改良的方向：

（1）分解层数的选择问题。在确定小波分解层数时，分解的层次越高，去掉低频的成分就越多，在无法确定是低频还是高频是“有用信号”时，可能会失去有用的信息。同时，分解层次越高，去噪的效果越好，但相对地更有可能造成失真。在今后的研究中，需要更加关注对于具有不同特征的金融时间序列，应当采用多少分解层数才不会致使丢失过多信息的研究。

（2）小波母函数的选择问题。小波基函数具有多样性，包括Harr小波、Daubecheies（dbN）小波系、Symlets（symN）小波系、ReverseBior（rbio）小波系、Meyer（meyer）小波、Dmeyer（dmey）小波、Morlet（morl）小波、Complex Gaussian（cgau）小波系、Complex morlet（cmor）小波系和Lemarie（lem）小波系等。在小波基函数的选取上，不同的小波函数有不同的优点，常用的小波函数不能同时满足正交性、对称性、正则性、消失矩和紧支性。在理论研究和实证分析的过程中，相关研究者应深入了解小波函数的构造原理，针对不同金融时间序列改进常用的小波函数，使其更加适应研究对象的特性和实证要求。

（3）阈值的确定问题。利用小波预测金融时间序列的一般方法是阈值去噪法，阈值的确定一般是根据经验，从而导致预测结果有很大的不确定性。特别是在进行预测时，很多研究通常是用非常少的已知样本检验预测效果，对于长期的预测效果则无法检验。而且这些预测都是建立在市场特性保持不变的情况下，所以当市场改变时无法进行精确预测。通过基于先验知识、模拟运算或仿真实验等科学途经找到相对更加合理的确定阈值的方法或将成为这一领域的趋势。

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基金项目：本文系2012年湖南大学SIT重点项目的阶段性研究成果。