小学数学模型思想的实践性思考

王海静

[摘 要] 2011版《数学课程标准》明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想”的建立. 在小学阶段，正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义，这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了数学模型思想的构建尚存缺憾.

[关键词] 数学模型思想；思考缺失；实践性思考

在丰富的数学世界里，蕴涵着变化多样的数学模型. 数学教学过程就是把复杂的情境进行分析、简化，从而得出简约的数学模型，去实现数学的应用价值. 数学建模就是将一些零散的、凌乱的、具体的、形象的数学问题进行抽象归纳，形成整体的、系统的数学知识，将数学与外部事物相联系，促使学生形成良好的数学素养. 长此以来，因受各种管理制度、考评政策、教师自身专业素养的束缚，教师缺乏对数学模型思想的深入思考，也缺乏对学生模型思想构建过程的指引，会致使课堂中体现出对模型思想渗透较少，或者根本毫无体现.

课堂中学生缺乏参与建模的过程

在平时的教学中，我们常会听到教师的抱怨：某某学生上课表现挺好的，积极性挺高，当堂课的练习正确率也行，可是一到考试就不抓分. 仔细分析，我们会发现，该类学生在课堂上的表现只是一种假象，实际上他们对数学概念或数学原理的发生、发展过程没有清晰、深刻的理解，仅仅停留在操作表面及表象的概括水平上，不能脱离具体表象形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握数学的模型本质，究其原因，还是我们教师在课堂上模型思想渗透较少.

例如教学“覆盖的规律”，有位教师是这样处理课堂教学的：教师出示例1，直接提出数学问题“一共可以得到多少种不同的和”，安排学生独立思考，并在小组内交流自己的想法. 事实上，学生对于覆盖是什么、怎么覆盖还不了解，根本不知从何着手，几分钟后，学生无动于衷，于是教师给出了模型“总数-每次覆盖的个数+1=不同和的个数”，接下来学生按照老师给的模型解决了第一个问题，即“总数为10，每次覆盖2个，可以得到多少个不同的和”，很顺利，结果也很准确. 教师又出示“如果连续覆盖3个呢？4个呢”，学生一一解答，无一错误. 从整节课来看，虽然教师想要渗透数学模型思想，但缺乏引领学生主动探索模型的形成过程，而学生则无法经历模型构建的过程. 乍一看，学生会解决问题了，可是脱离教师本节课的教学情境，学生很难运用这个模型去解决问题. 数学模型变成僵化的、仅供学生机械记忆的材料，学生未经历数学模型的探究、发现、总结、验证等过程，所以不能深入理解，更难以形成自己的知识加以储备.

教师缺乏对模型思想的深入思考

应试教育使我们急功近利，往往只关注学生的学习结果，而对学生模型思想的形成过程不够重视，对教材中隐含的模型思想未做深入挖掘，这就造成了教师对数学模型思想的思考缺失，于是我们的课堂过于形式化，不具备更深刻的品质.

教师缺乏对模型思想的思考，只是简单地设计教学过程，目的只是教给学生解决问题的技巧，这对学生的成长不利.

教师首先要学会纵向分析教学内容，将数学模型透彻理解，并能融会贯通. 如教学“认识位置”，学生接触了“第几排第几个”，渗透的是在二维空间上确定位置的模型，也是五年级教学“数对”的基础. 从低年级的直接形象思维，五年级的学生已能抽象出二维坐标模型的雏形了. 如果教师不能纵向把握这些教学内容之间的联系，就很难实现对学生模型思想的构建.

教师也要学会横向把握教材教学内容，如教学五年级的“方程”时，学生的学习基础是“用字母表示数”. 认识方程的含义、能列方程解决实际问题是学生的最终学习结果. 而同在一册教材中的“覆盖的规律”，学生通过研究能获得“总数-每次覆盖的个数+1=不同和的个数”这样一个方程模型.

眼界决定境界，一个教师是否具有模型的眼光和模型意识，往往决定着他的教学深刻性和课堂教学的品质. 而教师的模型眼光和模型意识一般是在教学行为实施前形成的，所以对教学内容的研究不止体现了教师的专业能力，也是模型构建的必经过程.

从布鲁纳的认知发展理论角度讲，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过对信息进行整理、加工，以一种易于掌握的形式加以储存. 含混不清的信息会对新知识产生严重的干扰，会给理解、记忆数学思维及应用造成极大困难.

小学数学模型思想实践策略

数学模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程. 伴随着数学知识的产生与发展，数学模型也随即产生和发展.

（一）教师引导，实现数学模型思想从具体到抽象的转变

郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：“就数学在古埃及、古巴比伦等地的早期发展而言，人们主要是通过观察或实验，并依靠对于经验事实的归纳获得了关于真实事物或现象量性属性的某些认识；但是，从现今的观点看，这些只能说是一种经验的知识，而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应当是关于抽象对象的研究. ”所以，数学本身就是对现实生活情境的一种抽象，而数学模型更是经历了多次抽象后的结果，将抽象的模型形成一种数学思想，这与小学生较为形象的思维表象有一定距离.

1. 从生活情境中抽象出数学模型

在教学“用字母表示数”时，许多教师都是用一首有节奏的儿歌引入，在这首儿歌中，有青蛙的嘴，还有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具体的情境中抽象出规律，并且用简单的字母表示. 这个过程就是数学模型的抽象过程，在数学模型的抽象过程中，感受数学模型思想. 作为教师，在教学中只有努力寻求缩小“形象思维”和“模型思想”之间的距离，才能使数学模型对学生的发展有真正意义的促进.

2. 数学模型实验帮助学生理解

数学模型是问题解决中借助模型处理各类问题的方法，是将数学思想应用于理论问题和实践问题的实验. 教学分数的意义，■=c（a不能为0），对于a为什么不能为0，大部分教师会直接告诉学生记住a为0没有意义就可以了，稍认真的教师会联系除法的意义进行讲解，而学生只是简单地记住了这个知识，并没有理解. 我们可以将这个抽象的字母公式还原成事物原型，如创设数学模型实验，海水的含盐率=■，如果海水的重量为0，则不存在海水，更谈不上含盐率，所以是没有意义的. 这样一个实际的数学模型，会给学生留下深刻而直观的认识，便于学生理解与接受.

（二）学生自主探索，实现数学模型思想从零散到系统的转变

数学模型的建立，最终还是依靠学生的自主探索. 猜想和验证是实现模型建立不可或缺的思维能力.

1. 用猜想搭起数学到模型的桥梁

猜想是比较高级的思维方式，在探索与发现学习的过程中，猜想也是一种被经常运用的思维方法. 尤其是在教学几何与图形的相关内容时，在教学生一些数学公式之前，我们可以鼓励学生根据已有的知识大胆地进行猜想.

例如，学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等平面图形面积计算的推导过程以及计算方法之后，在教学“圆的面积计算”时，我首先安排学生大胆地猜想它的面积计算可能会和谁有关，根据以往所学的知识，学生会想到转化的数学思想，推测出可能会与长方形的面积计算有关，再通过教师提供的学具，学生操作、研究，并展开具体地分析，从而找出它们的内在联系与规律，最终得出将圆通过剪拼得到近似的长方形，而这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，而长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2.

2. 运用验证促成数学模型生成

学生在初步猜想的基础上得出结论，这个结论还要组织学生进行充分地验证，在验证的过程中可能会有新的发现，同时在解决新问题的过程中，能进一步完善自己的猜想，最终发现规律，得出具体数学模型，并运用这个结论解决更多的实际问题. 对于学生来说，这是一个主动学习的过程，更是发现学习、创新学习的过程.

例如教学“覆盖的规律”，对于总共10个数，每次覆盖两个，可以得到多少个不同的和，可出示以下表格，组织学生操作、填表：

学生通过前三次操作，会发现规律，从而抽象出数学模型的雏形. 面对“10个数，每次覆盖7个，有多少种不同的选择”，学生会轻而易举地得出结论，那么这个结论是否正确，学生通过再次的操作进行验证，会证明自己发现的正确性.

任何数学模型的建立过程，不是单凭一种数学思维方式就能完成，往往需要多种数学思维方式的综合运用. 同时，数学模型的价值体现在建立过程以及以此去解决实际问题的过程之中，不是数学模型简单、机械的模仿运用，不能简单地把所有的概念或问题都装上一个数学模型，这样会把一个完整的数学体系变成用不同的数学模型驱动的支离破碎的混合体. 数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立模型更为重要的是学生能体会到从实际情景中发展数学、获得再创造数学的浓厚兴趣，在建立模型形成新的数学知识的过程中，学生更能体会到数学与大自然和社会的天然联系.