有效教学，从学生实际入手

胡琳玲

[摘 要] 随着新一轮课程改革的逐步深入，学生的数学学习呈现多元化的形式，教师应从学生已有的知识结构和知识经验出发，创设适合学生探究的课堂时空，让学习数学能力在数学活动中进一步发展丰富，真正实现课堂的“自然有效”.

[关键词] 自然；有效；目标

数学课堂应怎样走出单向传输、过量习题训练的误区，切实提高教学效率和教学质量，使每一个孩子都有收获呢？笔者最近在设计、试讲“二元一次方程组的图象解法”这节内容时，有一点小小的感悟.

教材分析

本章内容是“数与代数”的重要内容，贯穿了“从实际问题到函数（建模）—解决数学问题（研究函数的图象和性质）—用函数解决问题（应用）”的线索. 本节课是用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，是一次函数在数学内部的应用. 学生通过画图、观察、探索等活动，体验函数是处理和解决问题的有力工具，从而更加深刻地理解“数形结合”这一重要思想方法，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内在联系.

课堂教学实况（节录）

师：还记得如何解二元一次方程组2x-y-3=0，x-y+1=0 吗？

生：记得，用代入消元法和加减消元法.

师：二元一次方程组除了代入消元法和加减消元法之外，还有一种新的方法——图象解法，今天我们就来学习二元一次方程组的图象解法.

师：已知方程2x-y-3=0，请同学们用含x的代数式表示y.

生1：y=2x-3.

师：已知方程x-y+1=0，请用含x的代数式表示y.

生2：y=x+1.

师：y=2x-3，y=x+1是我们最近学的什么关系式？

生：一次函数关系式.

师：任意的二元一次方程ax+by+c=0（b≠0）都能写成一次函数的形式吗？是什么？

生3：可以，写成一次函数的形式为y=-■x-■.

师：一次函数y=kx+b能转化成二元一次方程的形式吗？

生4：可以，y=kx+b就是一个二元一次方程.

师：一次函数与二元一次方程形式可以互相转化！

师：请同学们画出一次函数y=2x-3的图象，并在函数图象上任意找两个不重合的点. 请三位同学告诉我你找的点的坐标是什么.

生5：点（1，-1），（0，-3）.

生6：点（4，5），（3，3）.

生7：点（2，1），（-1，-5）.

师：你们找的这些点在一次函数y=2x-3的图象上，它们的坐标是方程2x-y-3=0的解吗？试试看刚才三位同学找的点，再试试你自己找的点.

生：……是的.

师：黑板上六个点的坐标都是方程2x-y-3=0的解. 你们自己找的直线上点的坐标也是方程2x-y-3=0的解，那么直线y=2x-3上的任意一点的坐标是否都是方程2x-y-3=0的解呢？

生：是的.

师：二元一次方程2x-y-3=0的解有多少个？

生：无数个.

师：请你写出其中几个.

生8：x=0.5，y=-2； x=2，y=1； x=0，y=-3； …

师：以解x=0.5，y=-2 为坐标的点（0.5，-2）在一次函数y=2x-3的图象上吗？

生：在.

师：你们写出的其他解呢，以它们为坐标的点在直线y=2x-3的图象上吗？

生：在.

师：以方程2x-y-3=0的解为坐标的点是不是都在一次函数y=2x-3的图象上？

生：是的.

师：观察你所画的一次函数y=2x-3图象上的点，它与二元一次方程2x-y-3=0的解有什么关系？

生9：一次函数y=2x-3图象上点的坐标是二元一次方程2x-y-3=0的解，以方程2x-y-3=0的解为坐标的点都在直线y=2x-3上.

师：由特殊到一般，一次函数y=kx+b（k≠0）图象上的点与二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解有什么关系呢？

生10：一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.

师：借助平面直角坐标系，我们得到了一次函数y=kx+b（k≠0）的图象——直线y=kx+b，一次函数y=kx+b与二元一次方程组kx-y+b=0的形式又可以相互转化. 通过平面直角坐标系，二元一次方程kx-y+b=0的解与直线y=kx+b上的点一一对应，一次函数与二元一次方程从形式到内容都是统一的.

（巩固练习略）

师：请同学们在刚才的平面直角坐标系上再画出一次函数y=x+1的图象，并观察两条直线的位置关系.

生：相交.

师：交点坐标是什么？

生11：（4，5）.

师：交点坐标满足方程y=x+1吗？

生：满足.

师：交点坐标满足方程y=2x-3吗？

生：满足.

师：二元一次方程组y=x+1，y=2x-3 的解是什么？

生12：x=4，y=5.

师：课题引入的方程组2x-y-3=0，x-y+1=0 的解是什么？

生13：x=4，y=5.

师：通过刚才的探索，你知道二元一次方程组的解是什么了吗？

生14：先把两个二元一次方程化成一次函数的形式，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标.

师：很好，两个一次函数的交点的坐标P（m，n）就是相应的二元一次方程组的解x=m，y=n，那么，反过来，二元一次方程组的解是相应的一次函数的交点坐标吗？

生：是的.

师：借助平面直角坐标系，二元一次方程组的解和相应的一次函数图象的交点坐标建立了对应关系，我们既可以利用相应的一次函数的图象来求二元一次方程组的解，也可以利用解相应的二元一次方程组来求两条直线的交点坐标. 比如例1. （下略）

教学特色简析及教后反思

1.？摇自然

（1）课的引入自然. 直接引入二元一次方程组的图象解法，让学生对本节课的目的一目了然，引起他们的学习兴趣.

（2）各个教学环节衔接自然. 整个课堂紧紧围绕“二元一次方程组的图象解法”这一核心，让学生先探索出二元一次方程与一次函数在形式上是统一的，再让学生理解和认同二元一次方程的解和一次函数图象之间的关系，最后让学生生成概念：二元一次方程组的解和一次函数图象交点对应，明白可以利用相应的一次函数的图象来求二元一次方程组的解，也可以利用解相应的二元一次方程组来求两条直线的交点坐标. 各环节的过渡衔接借助教师的启发、引导，对话交流，逐步植入学生既有的脚手架，如在探索二元一次方程与一次函数的形式互化时，教师启发学生回顾已有的学习经验（已知方程ax+by+c=0（b≠0），如何用含x的代数式表示y，即一次函数关系式），及时为学生的探究提供夯实的着力点，提供有力支撑，确保探究活动顺畅、深入展开.

（3）知识技能生成自然. 在让学生理解和认同“二元一次方程的解和一次函数图象之间的关系”时，教师先让学生画一次函数的图象，通过引导学生自己找点和解，尝试探索出规律，自动生成结论. 这样就促使学生经历充分的体验与孕育过程. “一次函数与二元一次方程从形式到内容都是统一的”这一结论的生成就水到渠成，也容易纳入学生的认知结构. 而且，在此过程中，学生经历了画图和运算求解过程，不断观察，相互交流，大胆归纳推理，这一系列的技能训练使心智得到了进一步开启.

2. 有效

（1）从学生的参与度看，教学是有效的. 学生不仅行为参与教学（画图，运算，求解，归纳，不断观察、交流），而且在教师的引导启发下，课堂妙趣横生、轻松愉快，又不失理性的探究氛围，教师敢放手、善放手、必要时扶一手，确保学生有积极的认知参与和丰富的情感参与.

（2）从目标的达成度看，教学是有效的. 本课的效果不仅体现在知识的“吸收”、技能的“熟练”上，还体现了学生的学习研究数学意识正逐步强化. 这些方面都在本节课的后续教学中得到印证.

（3）从教学的效率看，本节课的教学是有效的. 新课标要求“注重数学知识之间的联系”“数学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.” 本节课要求学生能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，体会一次函数与二元一次方程的内在联系. 本节课通过让学生在画出一个一次函数图象探索出一些结论的基础上，再画出另外一个一次函数图象，判断两条直线的位置情况，然后探索出其他结论. 建立在对前面探索活动的理解基础上，学生对新的探索活动参与度高、理解快、效果好，这样就弥补了学生在有限时间内探索的局限性，达到了有机整合.

我们常常听到一线的教师这样说，我讲得最清楚不过了，他就是听不懂，他就是不会做题. 同一个数学问题，教师理解起来容易，但学生理解起来却太难；在教师看来是那样的显而易见，但对学生来说却很艰难. 所以，课堂教学中，我们一定要从学生的思维水平、学习基础出发，提高每节课的课堂效果，使每位学生学得轻松愉快，获得最大的收获，真真正正做到每一节课都是“自然有效”的课堂！