解析几何·双曲线

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>b>0）]的一条渐近线方程为[y=12x]，则该双曲线的离心率为（ ）

A. [52] B. [3] C. [5] D. 2

2. 已知[0<θ<π4]，则双曲线[C1]：[x2cos2θ-][y2sin2θ=1]与[C2]：[y2sin2θ-x2sin2θtan2θ=1]的（ ）

A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等

C. 焦距相等 D. 离心率相等

3. 已知定点[F1（-2，0）]，[F2（2，0）]，[N]是圆[O：x2+y2=1]上任意一点，点[F1]关于点[N]的对称点为[M]，线段[F1M]的中垂线与直线[F2M]相交于点[P]，则点[P]的轨迹是（ ）

A. 椭圆 B. 双曲线

C. 抛物线 D. 圆

4. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1]的一个焦点与抛物线[y2=4x]的焦点重合，且双曲线的离心率等于[5]，则该双曲线的方程为（ ）

A. [5x2-45y2=1] B. [x25-y24=1]

C. [y25-x24=1] D. [5x2-54y2=1]

5. 设[F]是抛物线[C1：y2=2px（p>0）]的焦点，点[A]是抛物线与双曲线[C2：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的一条渐近线的一个公共点，且[AF⊥x]轴，则双曲线的离心率为（ ）

A. [5] B. [3] C. [52] D. 2

6. 设离心率为[e]的双曲线[C：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的右焦点为[F]，直线[l]过焦点[F]，且斜率为[k]，则直线[l]与双曲线[C]的左右两支都相交的充要条件是（ ）

A. [k2-e2>1] B. [k2-e2<1]

C. [e2-k2>1] D. [e2-k2<1]

7. 双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的离心率为2，则[b2+13a]的最小值为（ ）

A. [233] B. [33] C. [2] D. [1]

8. [P]为双曲线[x2-y212=1]上一点，[F1]，[F2]分别是左、右焦点，若[PF1∶PF2=3∶2]，则[ΔPF1F2]的面积是（ ）

A. [63] B. [123] C. [12] D.[24]

9. 已知[F1]，[F2]分别是双曲线[x2a2-y2b2=1]的左、右焦点，[P]为双曲线右支上的任意一点. 若[|PF1|2|PF2|=8a]，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. [（1，2]] B. [[2，+∞） ] C. [（1，3]] D. [[3，+∞）]

10. 双曲线[x2a2-y2b2=1]的左焦点为[F1]，顶点为[A1，A2]，[P]是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段[PF1]，[A1A2]为直径的两圆的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的离心率[e=2]，且它的一个顶点到较近焦点的距离为[1]，则双曲线[C]的方程为 .

12. 已知[A，B]分别是双曲线[C： x2-y2=4]的左、右顶点，则[P]是双曲线上在第一象限内的任一点，则[∠PBA-∠PAB=] .

13. 设椭圆[x2a2+y2b2=1]，双曲线[x2a2-y2b2=1]（其中[a>b>0]）的离心率分别为[e1，e2]，有下列结论：①[e1e2<1]；②[e12+e22=2]；③[e1e2>1]；④[e1e2=1]；⑤[e1+e2<2]. 其中正确的是 .

14. 已知抛物线[y2=8x]的准线与双曲线[x2a2-y2b2=1]相交于[A，B]两点，双曲线的一条渐近线方程是[y=22x]，点[F]是抛物线的焦点，且[△FAB]是直角三角形，则双曲线的标准方程是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知双曲线[C1：x2-y24=1.]

（1）求与双曲线[C1]有相同的焦点，且过点[P（4，3）]的双曲线[C2]的标准方程；

（2）直线[l：y=x+m]分别交双曲线[C1]的两条渐近线于[A，B]两点. 当[OA?OB=3]时，求实数[m]的值.

16. （10分）平面直角坐标系中，[O]为坐标原点，给定两点[A]（1，0），[B]（0，-2），点[C]满足[OC=mOA+][nOB，]其中[m]，[n∈R，且m-2n=1].

（1）求点[C]的轨迹方程；

（2）设点[C]的轨迹与双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，][b>0][且a≠b）]交于[M，N]两点，且以[MN]为直径的圆过原点，求证：[1a2-1b2为定值]；

（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于[3]，求双曲线实轴长的取值范围.

17. （12分）已知双曲线[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的离心率为2，焦点到渐近线的距离为[23].过[P][0，-2]的直线[l]与双曲线[C]交于不同两点[M]，[N].

（1）求双曲线[C]的方程；

（2）当[PM=2PN]时，求直线[l]的方程；

（3）设[t=OM?ON]（[O]为坐标原点），求[t]的取值范围.

18. （12分）[P（x0，y0）（x0≠±a）]是双曲线[E]：[x2a2-y2b2 ][=1 （a>0，b>0）]上一点，[M]，[N]分别是双曲线[E]的左、右顶点，直线[PM]，[PN]的斜率之积为[15].

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线[E]的右焦点且斜率为[1]的直线交双曲线于[A]，[B]两点，[O]为坐标原点，[C]为双曲线上一点，满足[OC=λOA+OB]，求[λ]的值.