一道中考压轴题设计及解法的商榷

朱成敏

摘 要： 2011年广东深圳的中考数学题第23题设计了一个动点四边形周长最短的问题，由于答案给出的情况不完整，本文用分类讨论的方法对其他可能出现的情况加以讨论，给出了一般性的结论，并改进了题目的问法，使其更加科学.

关键词： 中考压轴题 设计 解法 分类讨论

2011年广东深圳的中考数学题第23题：如图1，抛物线y=ax■+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中，点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）略.

图1 图2

参考答案：y=-x■+2x+3（1）.

（2）存在.由y=-x■+2x+3（1）可得：E（2，3），A（-1，0），D（0，3），所以直线AE的解析式为y=x+1.

点D关于直线PQ的对称点为点E，作点F关于x轴的对称点F■（0，-1），连接EF■交PQ于点G、交x轴于点H，此时D、G、H、F四点围成的四边形周长最小.

由E（2，3），F1（0，-1）可得直线EF1的解析式为，所以G（1，1），H（，0），周长的小值为DF+EF■=2■.+2

（注意：如果得到点G（1，-1），点H（■，0）不是正确答案.）

读毕，疑问如下：

（1）得到这个点G（1，-1），点H（■，0）错误结果的过程是分别取了D关于x轴的对称点和F关于直线PQ的对称点.那么为什么这个结果是错误的呢？同时取两点关于两条对称轴的对称点的时候该如何取？

（2）该四边形周长最短的结论未证明，若仔细考虑证明过程就会发现，该解答是基于DF是定值，而将问题转化为在x轴和直线PQ上取点G、H，使得DG+GH+HF最短.这个转化存在一个问题：DF是否会成为D、G、H、F四点所围成的四边形的对角线？如果会成为对角线，则参考答案中的答案还是最短的吗？

下面分别探讨这两个问题.

为不失一般性，提出问题：平面直角坐标系中，在第一象限有A（m，n），B（p，q）两点，试在x轴与y轴上分别取点C、点D使得A、B、C、D四点所围成的四边形周长最小.

第一个问题：取点A关于x轴的对称点还是y轴的对称点得到的四边形周长较小？

方案一：取点A关于y轴对称点A1（-m，n），取点B关于x轴对称点B1（p，-q），连接A■B■交x轴与y轴于点C■、D■，此时由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图3）

方案二：取点A关于x轴对称点A■（m，-n），取点B关于y轴对称点B■（-p，q），连接A■B■交x轴与y轴于点C■、D■.此时由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图4）

图3 图4

方案一中，由点A■（-m，n），B■（p，-q）可得直线A■B■的解析式为：

y=-■x+■，

则其与y轴交点D1的坐标为（0，■），与x轴交点C■的坐标为（■，0）.

方案二中，由点A■（m，-n），B■（-p，q）可得直线A■B■的解析式为：

y=■x-■，

则其与y轴交点D■的坐标为（0，-■），与x轴交点C■的坐标为（-■，0）.

若pn-mq>0，即点C■与D■分别在坐标轴的正半轴上，

L■=AD■+C■D■+C■B+AB=A■B■+AB，

点C■与D■分别在坐标轴的负半轴上，

L■=AC■+C■D■+D■B+AB=A■B■+AB+C■D■.

易知A■B■=A■B■，因此L■

反之，若pn-mq=0，则L■>L■.

若pn=mq=0，则由点A、B、C、D围成的四边形周长不存在最小值.

结论一：方案一与方案二的取舍条件在于比较■与■的大小，也就是直线OA与直线OB的斜率大小.若OA斜率较小，则取点A关于x轴的对称点，点B关于y轴的对称点；若OB斜率较小，则取点B关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点.

为方便起见，记L=min{L■，L■}.

第二个问题：若点C与点D的选择过程中，若考虑AB是四边形的对角线，则此时四边形的最短周长与L相比哪个更短？

若AB是四边形的对角线，则其周长最小的作法为：取点A（或点B）分别关于x轴和y轴的对称点A■（m，-n），A■（-m，n），连接A■B、A■B分别交x轴、y轴于点C■、D■，此时，由点A、B、C■、D■围成的四边形周长记作L■.（图5）

易得，L■=A■B+A■B=■+■，

而L=A■B■+AB=■+■.

L■■-L■=2■-2■

由于[（p-m）■+（q+n）■][（p+m）■+（q-n）■]-[（p+m）■+（q+n）■][（p-m）■+（q-n）■]=（q+n）■+（p+m）■+（p-m）■（q-n）■-（p-m）■（q-n）■-（q+n）■（p-m）■=4qn（p+m）■-4qn（p-m）■=16pqmn>0

因此，L■>L.

结论二：点C与点D的选择过程中，若考虑AB是四边形的对角线，则此时四边形的最短周长比L更长.

综上所述，原题的答案是正确的，但过程的考虑存在一定的缺陷，而整个讨论的要求对初中学生难度过大，在考场很难给出详细全面的考虑过程，因此建议将题目中的“使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小”改为“使四边形DGHF周长最小”可以避免出现DF为四边形对角线的情形，从而简化问题，更易于作答.