赏析2013年“北约”自主招生物理第10题

王大春

2013年“北约”自主招生第10题考查了带电粒子在复合场中的运动问题，题目如下：如图1所示，水平面上方某一足够大的空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现从磁场中的A点垂直于磁场方向水平发射一个带电粒子，质量为m，电荷量为q，考虑粒子的重力，问：（1）如果粒子从A水平运动到C，AC距离为L，求粒子的速度v0大小？（2）如果速度不满足上问时，粒子速度无论多大都能到达C点，试求AC的距离L应该满足的条件？A到C的时间为多少？（3）如果初速度为0，问是否可能到达C点，在此过程中，最大速度为多少？

一、物理分析

第（1）问：粒子沿直线由A运动到C，则要求重力和洛伦兹力平衡，有mg=qv0B，解得v0=■，粒子带正电.

第（2）问：由于v≠v0=■，在运动过程中粒子受到的洛伦兹力f=qvB的大小和方向都在改变，带电粒子将在复合场（重力场和磁场）中做变加速曲线运动，运用常规的运动分解方法无法解决问题.

此问中要求无论初速度v多大时，粒子均能到达C点，需要对初速度的方向和大小进行分类讨论，如v<0、0≤v<■、v>■时的粒子运动情形进行分析，能够很好地考查学生对摆线运动情形的掌握程度和思维的严密程度.下面以v>■时的运动情形为例进行分析，其余的运动情形在将在后文中运用MATLAB软件进行编程模拟绘图分析.

当v>v0时，如图2所示，将初速度v分解为同一直线上的v0和v′，使■=■0+■′，洛伦兹力■=q■B=q■0B+q■′B，若使f0=qv0B=mg，即v0产生的洛伦兹力与重力相平衡，将粒子的变加速曲线运动分解为以速度v0的匀速直线运动和在洛伦兹力f′=qv′B作用下的匀速圆周运动，例如，当v′

粒子做摆线运动时，处于轨迹的最低点时，v0与v′同向，当处于轨迹的最高点时，v0与v′反向，运动的周期T=■，一个周期前进的距离为d=v0T=■，与粒子初速度的大小无关.当A、C间距离为d的整数倍时，即当L=nd=■（n∈Z）时，粒子能够到达C点.

第（3）问：粒子的初速度为0时，为了平衡重力，可将初速度0分解为0=v0-v0，此时粒子的轨迹如图4所示，一个周期前进的距离d=v0T=■，故能够到达C点，运动过程中速度的最大值位于轨迹的最低点处，vm=v0+v0=2■.

二、数学推导

如图5所示，以A指向C的方向为x轴正向，竖直向上为y轴正向，将粒子的变加速曲线分解为x和y方向的直线运动，■=■x+■y，洛伦兹力■=■x+■y=q■yB+q■xB，x方向受到的合力Fx=-q■yB，y方向受到的合力为Fy=-mg+q■xB，由牛顿第二定律可列如下的微分方程：

x方向：-q■yB=m■①；y方向：q■xB-mg=m■②；由①、②两式得：■=-（■）2vy，令？棕=■，则■=-？棕2vy，此式为二阶齐次常微分方程，通解为vy=C1cos？棕t+C2sin？棕t，由初始条件t=0，vy=0，得C1=0，vy=C2sin？棕t.代入②式得qvxB-mg=C2m？棕sin？棕t，由初始条件t=0，vx=v，得C2=v-■，则有

vy=（v-■）sin？棕t；vx=■-（v-■）cos？棕t；令v0=■，得：

vy=（v-v0）sin？棕t③；vx=v0-（v-v0）cos？棕t④.

带电粒子的位置坐标：

x=■vxdt=v0t-■（v-v0）sin？棕t⑤；y=■vydt=■（v-v0）（1-cos？棕t）⑥；

令R=■，k=■，⑤、⑥两式简化为：

x=R[？棕t-（k-1）sin？棕t]⑦；y=R（k-1）（1-cos？棕t）⑧；

⑦、⑧两式为数学中摆线的参数方程，由数学知识可知，粒子的运动周期T=■=■，一个周期内前进的距离d=2πR=■，与速度构造法得到的结论相同.

三、软件模拟

粒子做摆线运动的轨迹与k=■的值有关，即与初速度的大小和方向有关.下面运用MATLAB软件对-2≤k≤4（负号表示初速度沿x轴负向）范围内的轨迹进行编程模拟绘图.

令R=（■）2g=10，则？棕=■=1，周期T=■=2π.

程序：

syms R w t k x y；

R=10；w=1；

for k=-2：0.5：4

x=R*（w*t+（k-1）*sin（w*t））；

y=R*（k-1）*（1-cos（w*t））；

ezplot（x，y，[-2pi，2pi]）；

hold on；

end

程序运行后得到如图6所示的不同初速度（k）时粒子的运动轨迹，由运动轨迹图可以直观地看出无论初速度v的大小为多少，方向与x轴正向相同与否，粒子在一个周期内沿x轴正向前进的距离都相等，形象地呈现了第（2）问中粒子的运动情形.下面对一个周期内粒子的做摆线运动情形进行简要说明：

■

（1）如图6（a）所示，当k<0时，即粒子初速度沿x轴负向时，粒子在x轴下方做长幅运动，初速度越大，幅度越大，一个周期内粒子沿x轴正向前进相同的距离；当k=0时，即初速度v=0时，粒子做的运动是本题第（3）问中的情形.

（2）如图6（b）所示，当0

（3）如图6（c）所示，当1

（4）如图6（d）所示，当k>2时，即初速度v>■时，粒子在x轴上方做回旋式的长幅运动.

本题是带电粒子在复合场中运动的一类特殊而古老的问题——“摆线”运动问题，在1996年第13届全国高中物理竞赛决赛第2题、2008年江苏高考第14题和2011年福建高考第22题均对此类问题进行了不同角度的考查，此类问题能力立意高，能充分考查学生的分析综合能力，有利于优秀人才的选拔，因此受到各级考试命题专家的青睐.本文先运用中学阶段的物理方法对本题进行分析，再运用数学方法推导带电粒子“摆线”运动的轨迹方程，并利用计算软件MATLAB对本题中的运动轨迹进行绘制，以加深对此类问题的理解.

（作者单位 江苏省南通市海门中学）

？誗编辑 陈鲜艳