耀眼的函数图象

陈虹

摘 要：函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，也是高考的重要命题内容.

关键词：函数；图象；高考题

函数图象是高中数学的“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为每年高考的一个热点和亮点.

亮点1 识别函数的图象

例1.（2012江西）如右图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x（0

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A B C D

思索：本题直接排除法难度较大，意在考查考生如何求出解析式，正面求函数图象.

破解：（1）当0

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由SC与该截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF=EI=SEtan60°=■x，SI=2SE=2x，IH=FG=BI=1-2x，FI=GH=■AH=2■x，∴五边形EFGHI的面积S=FG×GH+■FI×■=2■x-3■x2，

∴V（x）=VC-EFGHI+2VI-BHC=■（2■x-3■x2）×CE+2×■×■×1×（1-2x）×■（1-2x）=■x3-■x2+■，其图象不可能是一条线段，故排除C、D.

（2）当■≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG=EF=ECtan60°=■（1-x），CG=CF=2CE=2（1-x），三棱锥E-FGC底面FGC上的高h=ECsin45°=■（1-x），∴V（x）=■×■CG·CF·h=■（1-x）3，∴V′（x）=-■（1-x）2，

又显然V′（x）=-■（1-x）2在区间（■，1）上单调递增，V′（x）<0（x∈（■，1）），

∴函数V（x）=■（1-x）3在区间（■，1）上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.

亮点2 方程、不等式常用图象

例2.（2013新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0lnx（x+1），x>0，若f（x）≥ax，则a的取值范围是（ ）

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

思索：本题考查的并非分离参数法解参数范围问题.不等式两边的函数图象均为初等函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题是本题的关键.

破解：画出函数y=f（x）的图象，观察到函数在（-∞，0）时单调递减，在（0，+∞）时单调递增且f（0）=0，又y=ax图象过原点，当 变化时不难观察到A答案成立.

亮点3 函数的性质巧用图象

例3.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有■>0，给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数x=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数x=f（x）在[-9，-9]上有两个零点.其中正确命题的序号为 .

思索：本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点等，涉及几个性质，综合性很强，解题时要注意抓住性质画出草图，便可迎刃而解.

破解：因为x1≠x2时，都有■>0，所以y=f（x）在[0，3]上递增.因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3有f（-3）=0，因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0，①对.又可得f（x）周期为6，画出示意图（草图）可知②正确，③④不正确，故填①②.

函数的图象及其应用以其综合性高成为高考考查的难点和热点，它是培养创新意识、提升数学修养、提高数学能力的极好素材.复习时注意三点：（1）掌握基本初等函数的图象和性质、图象的变换，解决函数问题时要有“先画一张图”的意识；（2）在研究函数性质时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究；（3）在研究方程与不等式时常用数形结合的思想求解.

（作者单位 江西省玉山县玉山一中）

？誗编辑 陈鲜艳