巧用数学方法 求解物理问题

金锦

俗话说“数理不分家”，数学和物理是具有密切联系的两门学科。数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透和贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律、原理的表述提供简洁、精确的数学语言，为物理学的数量分析和计算提供有力的工具，为研究物理问题进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法。数学方法在中学物理教学中有着重要的作用，特别是在求解一些物理问题时，如果能巧妙借助数学中的某些方法，会给我们带来很多方便。下面笔者就初中物理中的几个例子，与大家一起探讨一下它们的数学解法。

一、利用函数求解物理问题

例1.有一支温度计的刻度均匀但不准确，将它放入冰水混合物中，示数是5℃；放入标准大气压下的沸水中，示数是95℃。若放在空气中示数是32℃，那么室内实际温度是_________℃。

解析：这支温度计的刻度是不准确的，但却是均匀的，因此这些刻度与真实的刻度之间存在着线性的一一对应关系，即一次函数关系。这里可以把不准的刻度作为自变量x，真实的刻度作为因变量y（倒过来也可以），设两者满足关系式y=kx+b①，根据题意可知当x=5时，y=0；当x=95时，y=100（标准大气压下冰水混合物的温度为0℃，沸水的温度为100℃），代入①式，可求得k=■，b=-■，因此有y=■x-■②。再把x=32代入②式，可求得y=30，所以当它的示数为32℃时，室内的实际温度为30℃。

例2.某课外兴趣小组，将塑料小桶中分别装满已知密度的四种液体后，用弹簧测力计称出它们的重力，记录了下表中的数据。

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若小桶中盛满密度未知的某种液体时弹簧测力计的示数为2.3 N，该液体的密度是___________。

解析：根据二力平衡知识可知，弹簧测力计的示数等于液体的重力加上空桶的重力，即：F=G液+G桶。而液体的重力等于液体的质量乘以g，即：G液=m液g。液体的质量又等于液体的密度乘以它的体积，即：m液=ρ液V液。因此F=ρ液V液g+G桶①。由于小桶中的液体每次都装满，故液体的体积V液是一个定值，空桶的重力G桶及g也都是定值。令k=V液g（因V液和g都是定值，故它们的乘积也为定值），b=G桶。因此①式变为F=kρ液+b②，此式为F关于ρ液的一次函数。任取表格中的两组数据（如：第二组和第三组）代入②式，可解得k=1，b=0.8。因此有F=ρ液+0.8③。最后把F=2.3代入③式，可求得ρ液=1.5 g/cm3。

点评：上述两题的解法巧妙借助了数学中的函数模型。在两个量之间建立起一一对应的关系，即函数关系。然后根据条件求出函数表达式，最后通过求解出的函数表达式算出结果。此方法避开了传统方法中的具体分析，直接利用了数学中函数这个工具进行求解，较为方便。

二、利用极值法求解物理问题

例3.在如图所示的电路中，电阻R1=8 Ω，R2=10 Ω，电源电压及定值电阻R的阻值未知。当开关S接位置1时，电流表示数为0.2 A。当开关S接位置2时，电流表示数的可能值在 A到 A之间。

解析：要求开关在位置2时的电流范围，只要把电流用式子表达出来，然后再求解该式子的最值即可。根据欧姆定律，开关在位置2时的电流等于总电压去除以此时的总电阻（可用R2+R表达），而总电压（即电源电压）是保持不变的，它等于开关在位置1时的电流乘以此时的总电阻，即U=I1（R1+R），因此，当开关在位置2时，电流可表达为I2=■=■，把条件代入，可得I2=■，由于此式子的分子分母都在变，因此不好直接求它的最值。此处，需要进行适当的变换，可以先将分子变为常数，即：I2=■=■=■-■=0.2-■，此时我们可求解出该表达式的最值。由于该表达式中I2随着R的增大而增大，考虑到实际情况，电阻R的值最小为0（取不到），最大为无穷大（要多大就有多大）。因此，当R=0时，I2取最小值，为0.16 A，当R=无穷大时，I2取最大值，为0.2 A。故电流表示数的可能值在0.16 A到0.2 A之间。

点评：此题的解法借助了数学中的极值法。先把要求的物理量用含有数字和字母的式子表达出来。然后将该表达式进行适当变换，根据自变量的范围，求出变换后表达式的最大值和最小值。此方法在求解时较为严密，不过需要一定的数学基础。

三、利用数学推导求解物理问题

例4.水平地面上竖直放有一实心铜圆柱体，它对水平地面的压强为p1，在它底部中央开孔后，它对水平地面的压强为p2。孔的形状和大小如图甲所示，其中EFGH为底部孔口。孔的形状和大小与按图乙所示对称切割正方体形成的几何体的形状和大小一样（具体方法是沿四边形ABFE所在平面和四边形DCGH所在平面将正方体对称截去两块）。已知正方体中线段AB的长度为圆柱体高的一半，AB=EF=2EH，关于p1与p2大小的判断，正确的是 （ ）

A.p1

C.p1>p2 D.以上三种情况都有可能

解析：设该实心圆柱体的密度为ρ，高为2a，底面积为S；

则它对水平地面的压强p1=ρg2a=2ρga；

由题意可知，图乙中，正方体的体积V正=a3；

又由于图乙中截去的两块恰好可拼成一长方体，其体积V切=a·a·■=■；

则图甲的体积（即挖去部分的体积）V挖=V正-V切=a3-■=■；

于是圆柱体被挖去之后剩余部分对地面的压力F剩=G柱-G挖=2ρSag-ρ■g=2ρga（S-■）；

圆柱体被挖去之后剩余部分的底面积S剩=S-■；

所以p2=■=■=■>2ρga；

即：p1

点评：此题的解法直接利用了数学推导，把要比较的两个物理量各自表达出来。此题在表达挖去孔后的圆柱体对地面的压强时有一定难度，把它表达出来后，再对它适当变换，最后进行比较得出结果。

以上就是初中物理中一些具体实例的数学解法，有建立函数模型的方法、求函数极值的方法、数学推导的方法。这些数学方法的应用，在解决物理问题时起到了很重要的作用。当然，对于上面的例子，还可以用其他方法，笔者在此着重讨论它们的数学解法，希望能对广大读者有所帮助。

（作者单位 江苏省昆山市娄江实验学校）

？誗编辑 陈鲜艳