提防三角函数中“美丽的陷阱”

邢印忠

摘 要：在江苏高考考试说明中，三角函数部分涵盖了八个知识点，其中两角和（差）的正弦、余弦和正切为C级点，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质及几个三角恒等式为A级点，其余均为B级点，高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及的问题主要有三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形.在解题中，常需对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论，对公式进行灵活使用.若审题不严不细，很容易出错，要三思而后行，形成审慎思维的习惯.就学生在解三角函数题型中常见错误的原因进行剖析.

关键词：定义内涵；函数定义域；有界性；变换法则；复合函数

一、忽视字母的范围，对定义的内涵没有理解到位

例1.已知角？琢的终边上有一点A（4t，-3t）（t≠0），求2sin？琢+cos？琢的值.

误解：由条件r=■=5t知sin？琢=■=■=-■，cos？琢=■=■=■

故2sin？琢+cos？琢的值为-■.

简析：由于字母t的范围不定，从而r的值不能保证恒为非负值，故要讨论t的范围：当t>0时，r=■=5t，2sin？琢+cos？琢的值为-■；

当t<0时，r=■=-5t，2sin？琢+cos？琢的值为■.

二、忽视函数的定义域，没有进行等价变形

例2.已知函数f（x）满足f（cos？兹）=cos2？兹-6cos？兹，求f（2sin？兹）的最小值.

误解：由f（cos？兹）=cos2？兹-6cos？兹=2cos2？兹-6cos？兹-1，令x=cos？兹，

所以f（x）=2x2-6x-1，则f（2sin？兹）=8sin2？兹-12sin？兹-1=8（sin？兹-■）2-■，

当sin？兹=■时，f（2sin？兹）的最小值为-■.

简析：由-1≤cos？兹≤1知-1≤x≤1，故-1≤2sin？兹≤1？圯sin？兹∈[-■，■]，

从而当sin？兹=■时，f（2sin？兹）取最小值，最小值为-5.

三、忽视三角函数的有界性

例3.已知3sin2？琢+2sin2？茁=2sin？琢，求sin2？琢+sin2？茁的最大值和最小值.

误解：由sin2？茁=■得，sin2？琢+sin2？茁=sin2？琢+■（2sin？琢-3sin2？琢）=-■sin2？琢+sin？琢=-■（sin？琢-1）2+■，

因为-1≤sin？琢≤1，

所以当sin？琢=1时，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，当sin？琢=-1时，sin2？琢+sin2？茁有最小值-■.

简析：由sin2？茁=■可得0≤■≤1，即0≤sin？琢≤■.

当sin？琢=■时，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，当sin？琢=0时，sin2？琢+sin2？茁有最小值0.

四、没有缩小角的范围，形成思维定式，考虑不周密

例4.已知sin？琢-sin？茁=-■，cos？琢-cos？茁=■，其中？琢，？茁∈（0，■），求tan（？琢-？茁）的值.

误解：∵sin？琢-sin？茁=-■ （1）cos？琢-cos？茁=■ （2）

由（1）2+（2）2并整理得cos（？琢-？茁）=■

∵？琢，？茁∈（0，■），∴-■<？琢-？茁<■

∴sin（？琢-？茁）=±■=±■

∴tan（？琢-？茁）=■=±■

简析：因为受定式思维的惯性影响，？琢，？茁∈（0，■）得-■<？琢-？茁<■，没有顾及条件（1）中？琢<？茁从而有-■<？琢-？茁<0，

∴sin（？琢-？茁）=-■=-■

∴tan（？琢-？茁）=■=-■

五、忽视题目隐含条件

例5.设方程x2+4ax+3a+1=0（a>0）的两根为x1，x2，记x1=tanα，x2=tanβ，0<α<■，0<β<■，求tan■.

误解：由韦达定理可得x1+x2=-4a，x1x2=3a+1，又x1=tanα，x2=tanβ

故tan（？琢+？茁）=■=■=■

由tan（？琢+？茁）=■=■，解得tan■=-2或■.

简析：忽视韦达定理隐含条件，由a>0时知x1+x2<0及x1x2>0

从而x1<0，x2<0，故？琢，？茁∈（-■，0），从而有？琢+？茁∈（-π，0），■∈（-■，0），故tan■=-2.

六、对三角函数中的变换法则理解不到位

例6.将函数y=sin（2x+■）的图像向右平移■个单位得到函数y=f（x）的图像，再将函数y=f（x）图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y=g（x）的图像，求y=g（x）的表达式.

误解：将y=sin（2x+■）图像右移■个单位得到函数y=f（x）=sin（2x+■-■）=sin2x，横坐标变为原来的2倍得到y=g（x）=sin2×2x=sin4x.

简析：相位变换只是对自变量x而言的，与x的系数及符号无关；周期变换是将自变量x的系数变为原来的■倍.应为将y=sin（2x+■）图像右移■个单位得到函数y=f（x）=sin[（2（x+■）-■]=sin（2x-■），横坐标变为原来的2倍得到y=g（x）=sin（2×■x-■）=sin（x-■）.

七、忽视复合函数的性质

例7.求函数y=2sin（■-2x）的递增区间.

误解：令u=■-2x，则y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函数，

即2kπ-■≤■-2x≤2kπ+■，解得kπ-■≤x≤kπ+■（k∈Z），

于是函数y=2sin（■-2x）在区间[kπ-■，kπ+■]上是增函数.

简析：忽视复合函数的单调性，由u=■-2x是减函数，而y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函数

于是y=2sin（■-2x）在区间[kπ-■，kπ+■]（k∈Z）上是减函数

应为y=2sin（■-2x）=-2sin（2x-■），令u=2x-■

由2kπ+■≤u≤2kπ+■，即2kπ+■≤2x-■≤2kπ+■

∴kπ+■≤x≤kπ+■

∴函数y=2sin（■-2x）的单调递增区间是[kπ+■，kπ+■]（k∈Z）

八、没有认真审题，忽视三角形的性质

例8.在△ABC中，已知a=2，b=2■，C=15°，求A.

误解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°=4+8-2×2×2■×■=8-4■

∴c=■-■.

又由正弦定理，得sinA=■=■而0°

简析：由题意b>a，∴B>A，又0°

九、忽视三角函数的性质，三角变换生疏

例9.在△ABC中，若■=■，试判断△ABC的形状.

误解：由正弦定理，得■=■

即■=■·■，∵sinA>0，sinB>0

∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B，即A=B.故△ABC是等腰三角形.

简析：由sin2A=sin2B，∴2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B（k∈Z）.

∵0

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

从以上所剖析的三角函数解题中的常见错误可以看出，透彻理解三角函数的定义是正确解题的基础；确定角的范围既是解题中的重点，又是一个难点，也是学生在解题中常常出现的易错点，它限制三角函数的符号与取值范围；正确确定三角函数的符号，使用和挖掘三角公式及法则中的内涵是正确解题的关键，只有突破这一解题的关键点，才能顺利地解答好三角函数题，达到举一反三、触类旁通的目的.

（作者单位 江苏省南京市南京实验国际学校）

？誗编辑 陈鲜艳