例谈习题中的“即时定义”问题

田宝国

在一些习题中常常出现“即时定义”问题，这种问题提供了一个陌生的数学情境，新定义一个数学问题（概念），要求同学们通过阅读材料、感知材料中的信息，正确理解它的含义，从而探索解题途径.这类问题往往由于其立意新颖，解题思路开阔，不拘泥于具体的数学知识点，而是以问题为中心，将数学知识与方法进行合理结合，体现出对数学能力的考查.这种问题体现了高考要求的“背景新”和“立意新”，所以备受青睐.

解决“即时定义”问题，关键是读懂要求，准确理解题意，弄清“定义”的实质，抓住其本质，不要受我们所熟悉的一些“定义”干扰，问题就会得到很好的解决.

下面通过两道例题来体会一下这类问题的解决方法：

例1.设f（x）是定义在R上的函数，若存在实数x0，使得f（x0）=x0，那么称x0是函数f（x）的一个不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点.

（2）若对任意实数b，函数f（x）总有两个相异的不动点，求实数a的范围.

（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图上A、B两点的横坐标是函数 的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+■对称，求b的最小值.

分析：本题给出了函数f（x）的“不动点”的新情景，必须深刻理解“不动点”，通过等价转化才能顺利解题.对于（1）、（2）两小题可转化为一元二次方程问题来解决.而（3）用几何角度来理解，可转化为对称问题.

解：（1）由不动点定义，有f（x）=x即x2-x-3=x，

解得x=3或x=-1.

故函数f（x）的不动点x=3或x=-1.

（2）因为函数f（x）总有两个相异的不动点，所以方程ax2+（b+1）x+（b-1）=x恒有两个相异的实数解，所以Δ=b2-4ab+4a>0（b∈R）恒成立，所以判别式（4a）2-16a<0，解得0

（3）由题意知A、B两点在直线y=x上，设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵A、B两点关于直线y=kx+■对称，∴k=1

又∵x1，x2是方程ax2+（b+1）x+（b-1）=0的两根，

∴A、B中点M（-■，-■）在直线y=kx+■上，

解得b=-■≥-■当且仅当a=■时取等号.

所以b的最小值为-■.

例2.对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x）如果对任意的x∈[m，n]，均有f（x）-g（x）≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是非接近的；现有两个函数f1（x）=loga（x-3a）与f2（x）=loga■（a>0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]；

（1）若函数f1（x）与f2（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围；

（2）讨论函数f1（x）与f2（x）在区间[a+2，a+3]上是否接近.

分析：本题的第（1）小题是我们熟悉的函数问题，而第（2）小题需要根据题目所给出的“接近”与“非接近”的定义，转化为不等式恒成立问题来解决.

解：（1）依题意有x-3a>0且x-a>0，∴x>3a

∵f1（x）与f2（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，

∴3a0） ∴0

（2）f1（x）-f2（x）=loga（x-3a）-loga■=loga（x-3a）（x-a）≤1

即loga（x-3a）（x-a）≤1

∴-1≤loga（x-3a）（x-a）≤1在区间[a+2，a+3]上恒成立

∵0

∴a≤（x-3a）（x-a）≤■在[a+2，a+3]上恒成立

x2-4ax+3a2-a≥0x2-4ax+3a2-■≤0在[a+2，a+3]上恒成立

解得：0

∴当0

当a>■时f1（x）与f2（x）在[a+2，a+3]不接近.

可见，解决“即时定义”问题需要仔细阅读所给材料，理解题干中所涉及的信息、知识和相关材料，并能跳出传统的思维定式进行分析、推断，最终揭示问题的实质.然后转化成熟悉的知识背景与方法背景来解决.体现了数学思想的价值，借助数学思想完成了“新”与“旧”的统一.

（作者单位 河北省三河市第一中学）

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