特殊数列恒等式的矩阵证明

陈香兰

数列是中学数学中一个很重要的知识点，等比数列和等差数列是其中最基本的数列。在实际应用中，还存在着各种各样的无穷数列。其中有一种被称为斐波那契数（Fibonacci sequences），记作Fn，由于其本身的特色性，被很多数学家研究。美国数学会还出版了一种季刊——《斐波那契数》（《Fibonacci sequences》），专门刊登对这类数研究的论文。斐波那契数是一种特殊的无穷数列：0，1，1，2，3，5，8，13，…也可以递推关系定义：

Fn+2=Fn+1+Fn

其中F0=0，F1=1。斐波那契数在现代物理、化学晶体结构、数学各个分支理论研究等方面应用广泛[2，5]。

卢卡斯数（Lucus sequences）Ln是另外一种无穷数列，可以表示为Ln+2=Ln+1+Ln

其中L0=2，L1=1。作为一种著名的数，卢卡斯数的性质被广泛地研究。比如，卢卡斯数中的平方数只有1和4，它还与很多数论方面的研究相关，尤其是在解偶次丢番图方程方面。关于卢卡斯数的一些性质可见[3，4]。斐波那契数和卢卡斯数关系密切，有着相同的递推关系，只是初始值不同，它们还有其他很多相似的性质。这两类数还满足不少恒等式，比如：

Fm+1Ln+FmLn-1=Fm+n （1）

我们可以把等式写成如下形式：

Ln=FkLn+1-k+Fk-1Ln-k （2）

其中k是整数，且满足0≤k≤n-1。即

Ln=F1Ln+F0Ln-1=F2Ln-1+F1Ln-2=…=Fn-1L2+Fn-2L1 （3）

矩阵也是高中数学中用得很多的一个概念。矩阵理论在大学数学中也是很重要的知识。矩阵在科学研究计算等各方面应用广泛。本文通过构造一类矩阵给出等式（1）的另外一种证明。

令A0是一个2×2阶的矩阵，表示为

A0=F1-F0Ln-1Ln

我们递归地从Ak-1来构造Ak，即

A1=F2-F1Ln-2Ln-1，A2=F3-F2Ln-3Ln-2，和A3=F4-F3Ln-4Ln-3

以此类推，可以验证

Ak=Fk+1-FkLn-k-1Ln-k

注意到Ak和Ak+1是相等的，所以我们有A0=A1=…=Ak=…利用初始条件F0=0，F1=1和行列式的定义，可得

A0=Ln=F1Ln+F0Ln-1=A1=F2Ln-1+F1Ln-2=…=Ak=FkLn-k+1+Fk-1Ln-k=…

也就是等式（2），证明完毕。

数列和矩阵，看似两个不同的概念，实际上，它们之间也有着密切的联系。同样的，对于其他概念也是一样。所以，弄清楚数学中不同概念之间的关系，加深它们之间的相互渗透，也是学好数学的一种方法。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].高等教育出版社，2003.

[2]高山珍，叶静.Lucas数列的几个性质[J].贵州大学学报，2002（04）.

[3]朱庆喜.卢卡斯（Lucas）数列若干问题研究[D].福建师范大学，2009.

（作者单位 福建省永定县第一中学）

编辑 司 楠