点击“反证法”
2013-04-29童其林
童其林
有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以迎刃而解.数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效时，反证法会助人一臂之力.
反证法是数学证明中的一种重要方法，它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.
一、知识归纳
1. 用反证法证明命题的一般步骤如下：
①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
2. 反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：
①结论本身以否定形式出现；
②结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；
③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；
④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.
二、学习要点
1. 用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：
2. 反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：
①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；
②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；
③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.
但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.
3. 反证法的逻辑依据.
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.
本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.
三、应用
1. 在简易逻辑中的应用.
例1设x，y∈R ，P：x+y≠8，q：x≠2或 y≠6，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
分析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰.
解析：因为“？劭q∶x=2 且y=6”是“？劭p∶x+y=8 ”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件.
点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰.
2. 在平面向量中的应用.
例2. 设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使 + + + + = 成立的点M的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 10
分析：先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的.
解析：由 + + + + = ，得 = （ + + + + ），由向量加法法则知存在这样的点M；下面用反证法证明点M的个数是唯一的，假设满足条件的点除M外还有点N，那么 + + + + = ……①， + + + + = ……②，①-②得5 = ，则N点与M点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M只有一个.
点评：涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅.
3. 在数列中的应用.
例3. 已知数列{an}和{bn}满足：a1= ，an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中 为实数，n为正整数.
（1）对任意实数 ，证明数列{an}不是等比数列；（2）略.
分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾.
证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3又题知：a2= -3，a3= a2-2= -4，∴（ -3）2= （ -4），∴9=0，矛盾，故假设不成立，即{an}不是等比数列.
点评：数列中涉及到证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证明可直捣黄龙.
例4. 已知数列{an}满足：a1= ， = ，anan+1<0（n≥1）；数列{bn}满足：bn= （n≥1）（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
分析：先假设存在三项是等差数列，化为整式后利用数论知识推导矛盾.
解析：（1）an=（-1）n-1 ，bn= ·（ ）n-1；（2）假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（r
点评：借助反证法思想，乍看繁难的问题，利用反证法有效的突破了解题困境，一气呵成.
4. 在函数中的应用.
例5. 设f（x）=x|x+m|+n，m，n为常数，讨论f（x）的奇偶性并说明理由.
分析：容易观察m， n都是0时，f（x）是奇函数，利用定义容易证明； m，n至少有一个不为0时，f（x）是非奇非偶函数，利用反证法分两类情况证明.
解析： ①若m=n=0，则f（-x）=-x│x│=-f（x），故f（x）为奇函数；②若m2+n2≠0，则f（x）是非奇非偶函数，下用反证法证明：假设f（x）是奇函数，则f（0）=n=0，∴ f（-1）=-│m-1│=-f（1）=│m+1│，∴ （m-1）2=（m+1）2，∴m=0，这与m2+n2≠0矛盾，故f（x）不是奇函数；假设f（x）是偶函数，则f（-1）=-|m-1|+n=|m+1|+n，∴|m+1|+|m-1|=0，这与|m+1|+|m-1|≥2矛盾，故f（x）不是偶函数. 综合上述，f（x）是非奇非偶函数.
点评：函数中涉及到“不是奇（偶）函数，不是单调函数”这类问题的证明时，往往可用反证法将问题解决得干净彻底.
例6. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y= （其中x∈R且x≠ ），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.
分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.
证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2，假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即 = ，整理得a（x1-x2）=x1-x2. ∵ x1≠x2， ∴ a=1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.
5. 在立体几何中的应用.
例7. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.
分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.
证明： 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内，∴ AC⊥SO.
∵ SO⊥底面圆O，∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立.
即AC与平面SOB不垂直.
点评：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.
6. 在不等式中的应用.
例8. 已知a1，a2，a3，…，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+…+a10=30，a1a2a3…a10<21. 求证：a1，a2，a3，…，a10这10个数中必有一个数在（0，1）之间.
分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件矛盾.
证明：假设ai≥1（1≤i≤10，i∈N？鄢），令bi=ai-1≥0，则由a1+a2+…+a10=30得b1+b2+…+b10=20，又a1a2…a10=（b1+1）（b2+1）…（b10+1）=1+（b1+b2+…+b10）+…+（b1b2…b10）≥1+（b1+b2+…+b10）=21，这与条件a1a2…a10<21矛盾，故a1，a2，…，a10这10个数必有一个数在（0， 1）之间.
点评：不等式中涉及到“必有一个，至少一个，至多一个”等命题的证明时，采用反证法可以使问题解决的十分干脆彻底.
例9. 设a>0，b>0，（ ）
A. 若2a+2a=2b+3b，则a>b
B. 若2a+2a=2b+3b，则a
C. 若2a-2a=2b-3b，则a>b
D. 若2a-2a=2b-3b，则a
分析：本题将常见不等式题目中的条件和结论进行了交换，直接证明感觉无从下手，采用反证法问题可以迎刃而解.
解析：对于A选项，利用反证法，假设a≤b，则2a≤2b，2a≤2b<3b，故2a+2a<2b+3b，即2a+2a≠2b+3b这与条件矛盾，故假设不成立，即选项A正确.
点评：对于常见不等式问题的逆命题，利用反证法可以化难为易.
例10. 设 a，b为正实数.现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b<1；②若 - =1，则a-b<1；③若 | - |=1，则|a-b|<1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1其中的真命题有（ ）
分析：对假命题②③，可用特值法判断；对真命题①④，可利用反证法证明.
解析：对于②，令a=2，b= ，显然满足条件，但a-b= >1故②错误；对于③，令a=4，b=1，显然满足条件，但│a-b│=3>1故③错误；对于①，假设a-b≥1，∵a，b>0，∴a+b>a-b≥1，∴a2-b2=（a+b）（a-b）>1，即a2-b2≠1，与条件矛盾，假设不成立，故a-b<1，即①正确；对于④，假设│a-b│≥1，∵a，b>0，∴a2+ab+b2>（a-b）2= |a-b|2≥1，∴|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与条件矛盾，假设不成立，故|a-b|<1即④正确.
点评：本题主要考查反证法在不等式中的应用，利用反证法可以扭转不利的局面，从而使问题快速获解.
7. 在三角函数中的应用.
例11. 存不存在0 解析：不存在.否则有cosx-sinx= -tanx= ，
则cosx-sinx=0或者1= .
若cosx-sinx=0，有x= .而此时 ， ，1，1不成等差数列；
若1= ，有（sinxcosx）2=1+2sinxcosx.解得有sinxcosx=1± .
而sinxcosx= sin2x∈（0， ]，矛盾！所以满足题设的x不存在.
8. 在解析几何中的应用.
例12. 求证抛物线y= x2-1上不存在关于直线l：y=x对称的方程.
证明： 假设所给抛物线上存在关于直线l：y=x对称的两点A（x1， x12-1）， B（x2， x22-1）. 由于抛物线y= x2-1上任意两点的横坐标不同， 故x1≠x2， 由l⊥AB， 且AB的中点在l上， 得：
=-1， [（ x12-1）+ （x22-1）]= ，解得x1=x2=0， 这与x1≠x2矛盾， 故假设不真， 原命题成立.
点评：反证法具有试探性， 有时直接证明难以入手， 可尝试用反证法， 若能推出矛盾则可证命题为真； 若无法推出矛盾， 往往也可从中分析出解题的途径与方法.
从以上例子可以看出，善于抓住题型结构，恰当应用反证法，即通过否定初始之否定而达到肯定原结论的目的，可以使一些难解的问题得到解决.为了这种否定，必须在推理中有意识地制造矛盾并及时发现矛盾.反证法也可以加强学生逆向思维的训练，提高解决问题的能力.
练习题：
1. 已知函数f（x）在其定义域内是减函数，则方程f（x）=0 （ ）
A. 至多一个实根 B. 至少一个实根
C. 一个实根 D. 无实根
2.（2013·山西师大附中模拟）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A. a，b，c中至少有两个偶数
B. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C. a，b，c都是奇数
D. a，b，c都是偶数
3. 用反证法证明命题“若sin θ +cos θ· =1，则sin θ≥0且cos θ≥0”时，应假设________.
4.（2013·邯郸模拟）设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________.（填序号）
5. 求证：a，b，c为正实数的充要条件是a+b+c>0，且ab+bc+ca>0和abc>0.
练习题参考答案
1. A； 2. B；3. sinθ<0或cosθ<0；
4. 解析：若a= ，b= ，则a+b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a=b=1，则a+b=2，故②推不出；若a=-2，b=-3，则a2+b2>2，故④推不出；若a=-2，b=-3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a+b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案为③.
5. 证明：必要性（直接证法）：∵a，b，c为正实数，∴a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，因此必要性成立.
充分性（反证法）：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc>0，则它们只能是两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0.又∵ab+bc+ca>0，∴a（b+c）+bc>0，且bc<0，∴ a（b+c）>0. 又∵ a<0，∴ b+c<0，∴ a+b+c<0，这与a+b+c>0相矛盾.故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数.
（作者单位：福建省永定县城关中学）
责任编校 徐国坚
