剩余类——群、环、域的精灵

杨月婷　姜晓威

【中图分类号】O153

【文献标识码】C

本文受吉林省教育科学规划课题和吉林省高等教育教学改革立项课题资助

1.引言

对近世代数课程的改革是一项艰巨而复杂的任务，其中改革课程教学体系、加强教材建设，注重与其他课程及实际问题的联系都是非常好的教学改革环节，我们从教学实际出发考虑改革教学方法，加强实例教学，将几个重要实例渗透到教学的全过程，逐一引导学生理解抽象的概念和相关结论，也不失为一个行之有效的好方法.不难发现，在信息编码和密码技术中有重要应用的剩余类就是一类重要实例，它从我们非常熟悉的整数集合_瘙_綄_和一元多项式环F[x]切入，使得学习起来不会感觉那么陌生，却可以诠释群、环、域中的主要概念和结论.

（10）_瘙_綄_n是含n个元的域当且仅当n是素数.（这是一个非常有代表性的有限域.）

上述结论可以让学生更清楚地理解群、环、域的定义，运算性质和结构，也能更清楚地认识到各知识点之间的相互联系， 例如理想就是正規子群概念的推广，它在环同态中的作用与正规子群在群同态中的作用相似等等.

在教学中还应该强调两个剩余类有不同的应用但也不是相互孤立的.

综上所述，在具有高度抽象性的课程中通过认识实例、运用实例、构造实例来帮助学生理解和掌握抽象的概念和结论，可以起到抛砖引玉的作用，达到事半功倍的效果，就像剩余类，学生们把它当作一只可爱的精灵，畅游于群、环、域的海洋之中，使原本对枯燥、晦涩的理论知识的学习变得生动而有趣.