二次函数在中学数学教学中的应用

徐建友

摘 要：从目前的中学数学教材来看，二次函数占有极其重要的地位。无论是在代数课程中，还是在解析几何课程中，二次函数都有其得天独厚的优势。例如，在浙教版的初三数学教材中，二次函数就非常的重要，它不仅是考试的重点，而且也是考试的难点。更为突出的是，二次函数当中的许多思想都可以很好地应用到人们的实际生活当中，比如说，分类讨论的思想、最优化思想、数形结合思想、等价转换思想、函数的思想等等。利用二次函数做媒介，不但能够清晰地展示二次函数的教学思想，还能够简化问题，进而轻松地解决问题。结合实际问题说明了二次函数的重要性，然后深入分析了二次函数在中学数学中的应用。

关键词：二次函数；中学；数学；应用

一、二次函数的重要性

函数是中学数学教材的重要内容，特别是二次函数，它几乎贯穿于中学数学的整个教学过程。由于二次函数具有比较丰富的内涵与外延，所以二次函数有很高的研究价值，利用它可以研究函数的奇偶性、单调性、对称性以及最大值问题，还能够采用数形结合的方式，有效地解决数学教学过程中的诸多问题，帮助学生理解、掌握数学知识，提高教学效率。其中，二次函数的重要性主要体现在以下两个方面。

1.有助于培养学生的数学思维能力

二次函数知识是中学数学学科知识体系的重要组成部分。在二次函数教学的实践过程中，许多教师通过对二次函数相关概念、性质、图像以及有关法则的讲解与分析，学生在解决此类问题时，思维能力得到了有效的锻炼和提升。例如，在浙教版初三的数学课教材中，讲到“二次函数图像的性质”这一内容的时候，教师设置这样的问题：“某镇一家个体户经营一种产品，成本为每千克50元，据调查，若按照每千克60元销售，每个月可以销售700千克。销售价涨高一元，每月销售量就减少20千克，以此计算，当店主把销售价定为每千克75元时，其月销售量和月利润分别是多少？”当教师设计出此问题情境时，学生能够直接感知到问题的实质内容，使其认识到知识与生活的紧密结合，从而积极主动地去思考、解决问题，有效地激发了学生的自主性，提高了其数学思维能力。

2.有助于提高学生的自主探究能力

在中学的学习过程中，学生的自主探究能力是影响其学习能力的重要因素，而问题教学能够指导学生进行自主探究，进而掌握正确的解决问题的方法，提高自己的学习能力。例如，在浙教版初三的数学教材中，讲到“二次函数的单调性以及最大值”的时候，教师可以先引入△ABC法则，然后画出几组开口方向不同的二次函数图像，引导学生进行自主探究，分别找出这几组函数的单调性与最大值的求解方法，最后教师再针对这些方法进行归纳、总结，向学生说明解答此类问题的常用方法，从而增强了学生的有效探究能力，为其进一步的学习奠定基础。

二、二次函数在中学数学中的应用

随着课程的深化改革，教学的设置更加注重学生的综合学习能力，二次函数知识具有内容多、内涵深、外延广、关系密的特点，这为学生学习能力的培养提供了锻炼和时间的平台。二次函数在中学数学中的应用主要有以下几方面。

1.利用二次函数实现最优化问题

在中学数学的教学过程中，经常会遇到一些综合性大题，来实现问题最优化。例如，在初三浙教版中有下列问题：

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

■

若日销售量y是销售价x的一次函数。

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解：（1）设一次函数表达式为y=kx+b。

则15k+b=2520k+b=20解得k=-1b=40，

即一次函数表达式为y=-x+40。

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）y=（x-10）（-x+40）

=-x2+50x-400

=-（x-25）2+225

当x=25（元），ymax=225（元）

答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元。

2.利用二次函数求解最大值

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如，在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等。解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：（1）运用配方法求最值；（2）构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；（3）建立函数模型求最值；（4）利用基本不等式或不等分析法求最值。

例：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

■

解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米。

则长为：32-4x+2=34-4x（米）

则：S=x（34-4x）

=-4x2+34x

=-4（x-■）2+■

∵0<34-4x≤10

∴6≤x<■

∵■<6，∴S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，

而当6≤x<■内，S随x的增大而减小，

∴当x=6时，Smax=-4（6-■）2+■=60（平方米）

答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大。

在中学的数学教材中，这些都是较常见的问题，利用二次函数就可以将原本复杂的问题简单化，既能够清楚地解决问题，也能够让学生对知识有全面的了解和掌握。

综合以上的分析，二次函数不仅对培养学生的思维、探究能力有很大帮助，而且，还能够触类旁通地解决实际生活中的问题，让学生真正感受到知识的学以致用，有效地促进中学数学教学的进步与发展。

参考文献：

[1]李娅庆.二次函数在中学数学中的应用[J].教育战线，2010（11）.

[2]郭利平.初中数学函数教学研究[D].硕士学位论文，2011（5）.

（作者单位 浙江省兰溪市第八中学）