《最大公因数和最小公倍数》的教学思考

陈爱明

【关键词】《最大公因数和最小公倍数》 教学思考 课堂实录

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）09A-0060-02

“数学思考”即在面临各种问题情境，特别是非数学情境时，能够从数学的角度思考问题，发现其中所隐含的数学现象，并运用数学的知识与方法去解决问题。

《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）在课程总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”，并把“数学思考”作为小学生數学学习的四大目标之一。

如何使学生更多地接触生活中的数学，发展学生的数学思考能力？下面以两位教师教学《最大公因数和最小公倍数》的课堂实录对比案例来谈谈如何活用教材载体，引发数学思考，提升学生的学习能力。

[课堂实录一]

出示题目：用长3厘米、宽2厘米的长方形小纸片若干分别铺在边长为6厘米和边长为8厘米的两个正方形上，正好可以铺满哪个正方形？

（生小组合作摆一摆）

师：在边长是6厘米的正方形中，你用小长方形的长边摆了几次，用宽边摆了几次呢？你是怎样列式的？

生：6÷2=3（次）；6÷3=2（次）。

师：边长为8厘米的正方形你是怎么摆的？

生：8÷3=2（次）…2（厘米）；8÷2=4（次）。

师：大家想一想，这样的长方形纸片还能铺满边长是多少厘米的正方形？

生小组讨论得出结论：能正好铺满边长12厘米、18厘米、24厘米的正方形。

师：对，能正好铺满的正方形的边长应既是2的倍数，又是3的倍数。像6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数的数就是2和3的公倍数。

（揭示课题：公倍数）

师：下面我们来学习求4和6的公倍数的方法……

[课堂实录二]

出示题目：用长3厘米、宽2厘米的长方形小纸片若干分别铺在边长为6厘米和边长为8厘米的两个正方形上，正好可以铺满哪个正方形？

（生小组合作摆一摆）

师：在操作时，对所选正方形的边长，要考虑满足什么条件？

生：先用小长方形的长边来摆，3厘米3厘米地摆，要正好且没有剩余；再用宽边来摆，2厘米2厘米地摆，也要正好而且没有剩余。

师：你能用算式来验证你的想法吗？

生：8÷2=4，8÷3=2…2；用长边来摆时能摆2次，但还余2厘米。

生：6÷3=2，6÷2=3；用长边和宽边来摆都正好摆完且没有余数。

师：对，用长边3厘米来摆或用宽边2厘米来摆，都正好摆满且没有余数，那么，这个正方形的边长与3和2有什么关系？

生：这个边长正好能被3或2整除，没有余数。也就是说这个正方形的边长是3的倍数，同时也是2的倍数。

师：同学们说得很对。总结概括一下，在什么情况下若干个小长方形正好能摆满一个大正方形？

生：当大正方形的边长既是小长方形长的倍数，也是宽的倍数时，小长方形正好能摆满大正方形。

师：这样的小长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形呢？

（生小组讨论）

生：要满足大正方形的边长既是小长方形长的倍数，又是宽的倍数时，我们小组讨论得出结论：这样的小长方形纸片可以铺满边长是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形。

师：说得真好。谁能重复，必须满足什么条件？

师：这里的6、12、18、24既是2的倍数，又是3的倍数，我们就说它们是2和3的公倍数。（指着边长6厘米的正方形）这个正方形的边长6就是小长方形长3和宽2的公倍数，这时这个正方形就能被小长方形摆满。谁能说说边长12厘米、18厘米的正方形呢？

师：谁能用简洁的语句总结一下，在满足什么条件时，大正方形能被小长方形摆满？

生：大正方形的边长是小长方形长和宽的公倍数时能被小长方形摆满。

师：下面两道题，请大家一起解答：

（1）公交车站上4路车每5分钟发一辆，10路车每8分钟发一辆，首次同时发车后，再过几分钟这两路车同时发车？

（2）王叔叔沿着路边栽树，每隔3米栽一棵，后来王大爷说树间距太小，最好是4米栽一棵。请问，王叔叔在哪些地方的树不需要重栽？

……

[反思]

从上面两例可以看出，实录一中教者组织的小组合作、现象探究等活动都仅仅是为引出公倍数这一概念，为教例题而教。而实录二中教者更注重引导学生观察操作过程与得出结论之间的因果关系，从而做出较为理性的更深层次的思考。这不仅仅是把例题当作引出倍数的概念的载体，而且让学生在新知学习的同时进行着“数学思考”能力的训练。

1数学思考因“质”对话向纵深掘进

学生的数学学习是一个求“真”、务“实”、寻“根”、探“源”的过程，不能“蜻蜓点水”“浅尝辄止”，必须通过一定的积累与训练，才能完成对知识和技能的建构。

实录二中教者对学生操作结果没有简单处理，而是通过多个问题引发学生的数学思考：“对所选正方形的这个边长，要考虑满足什么条件？”“都正好摆满而没有余数，那么，这个边长与3和2有什么关系？”“在什么情况下若干个小长方形正好能摆满一个大正方形？”“谁能用简洁的语句总结一下，满足什么条件时，大正方形能被小长方形摆满？”这样的问题引导使学生产生了数学思考、探究事物本质的欲望。从而最终得出“当大正方形的边长是小长方形的长和宽的公倍数时正好能被小长方形铺满”这一实质性的结论。这样的数学教学，因为有“质”的对话，使得学生的数学思考有了一定的深度，更利于数学学习能力的形成。

2数学思考因语言训练而有效蓄积

学生的数学思考能力不会凭空而就，必须借助语言的外壳。有了语言，数学思考才能得到表达与体现，通过语言可以看出思维的有序、逻辑、深度、广度等。而在新课程改革实践中，一些教师为了让学生主动探索得出新知，重视过程而忽视了语言的训练，学生思维的表达或无章可循，或断断续续，毫无逻辑可言。实录一中教师急于引出公倍数概念，语言表达的训练浅显无力，无助于数学思考的形成。而实录二中，教师不止步于学生得出“正方形的边长除以长方形的长和宽都没有余数”的浅层结论，而是进一步引导出“整除”“倍数”“公倍数”；不满足于“正方形的边长既是小长方形长的倍数，又是小长方形宽的倍数”的描述，而是层层递进，最后概括出“正方形的边长是小长方形的长和宽的公倍数”。因而，教师对学生进行语言训练需注意由浅入深、由易到难、由简到繁，训练到位，方能利于学生形成严谨、科学的数学表达和数学思考的能力。

语言是数学思考的“外在工具”，用好了这个工具能有效地“蓄积”学生数学思考的“内在核能”，使学生的数学思考得以更充分地发展。

3数学思考因活动而得以实现

作为课程目标之一的“数学思考”对学生的数学学习和能力发展有着重要的意义，它蕴藏于知识与技能形成、问题解决的过程之中，不可孤立进行强化训练，更不可脱离生活实际而凭空讲解。实录二中教者在学生得出结论后并没有急于进入“求两个数的公倍数”环节，而是让数学思考顺势进行拓展延伸。

学生的数学思考应贯穿于整个数学学习过程中，要在数学活动中实现。在新课程背景下，数学教师更要吃透教材的编排意图，利用教材创设的情境，充分挖掘可利用的因素，为学生数学思考能力的发展带来源源不断的有利因素。

数学学习的终极目标，绝不是让学生成为知识的容器，而是要让学生经历、体验和享受数学学习的过程。教师要不断地为学生的数学思考带来机会，创造可能，为学生学习能力提升营造更广阔的空间。

（责编 杨 春）