证明不等式acosθ+bsinθ≤（根号下ab）（a，b，θ∈R，ab≠0）的六种模型

韦兴洲

摘 要：本文从不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）（或其等价形式）的结构出发，联想代数或几何模型，得到了该不等式的六种证法.

关键词：不等式；模型；证明

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度考察不等式的结构特征，可以联想不同的数学模型，从而实现“条条大路通罗马”的一题多证.本文以不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）的证明为例，供参考.

定理：acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）.

证法二（平方和模型）：由（acosθ+bsinθ）2+（asinθ-bcosθ）2=a2+b2且（asinθ-bcosθ）2≥0，所以可得（acosθ+bsinθ）2≤a2+b2，即acosθ+bsinθ≤.

证法三（柯西不等式模型）：由柯西不等式（acosθ+bsinθ）2≤（a2+b2）（cos2θ+sin2θ），可得（acosθ+bsinθ）2≤a2+b2，从而两边开方可得acosθ+bsinθ≤.

证法四（向量模型）：设m=（a，b），n=（cosθ，sinθ），由m·n≤mn得acosθ+bsinθ≤.

证法五（椭圆（或圆）模型）：取x=acosθ，y=bsinθ，则要证明在约束条件+=1（ab≠0）下目标函数z=x+y的值域为[-，]. 而当且仅当直线y=-x+z与椭圆（或圆）+=1相切时纵截距z取得最值. 联立y=-x+z与+=1并消去y得关于x的一元二次方程（a2+b2）x2-2a2zx+a2（z2-b2）=0（ab≠0），由Δ=0得z2=a2+b2. 从而可知（x+y）2的最大值为a2+b2，即有acosθ+bsinθ≤.

证法六（距离模型）：由ab≠0可得a2+b2≠0，故可把d=看作单位圆x2+y2=1上一点（cosθ，sinθ）到过原点（同时为单位圆圆心）的直线ax+by=0的距离，易得d≤1，从而acosθ+bsinθ≤.

评注：不等式acosθ+bsinθ≤（a，b，θ∈R，ab≠0）中等号成立的充要条件为：当asinθ=bcosθ>0时，acosθ+bsinθ=；当asinθ=bcosθ<0时，acosθ+bsinθ=-.