谈高中数学概念的有效教学

刘正岳

摘 要：学生对概念的掌握直接影响着数学的学习与应用，应用概念教学能够有效地提高学生对于数学概念的认识，能够培养学生正确的思维方式和合理的解决问题的方式方法，并提高学习效果，从而能让学生真正地掌握高中数学的基础知识和技能，为其以后的实际应用打下良好的基础.

关键词：高中数学；概念教学；有效

高中数学概念的有效教学，是建立在数学概念的有效应用基础之上的. 学生对概念的掌握直接影响着数学的学习与应用，应用概念教学能够有效地提高学生对于数学概念的认识，能够培养学生正确的思维方式和合理地解决问题的方式方法，并提高高中数学阶段的学习效果，从而能让学生真正地掌握高中数学的基础知识和技能，为其以后的实际应用打下良好的基础. 如果初学概念时没有掌握好，那有可能在后续的很长时间里都会出现负面的影响. 因此，概念教学历来是高中数学教学的重要内容之一. 在有效教学的背景下，高中数学教学可以从概念、规律、数学知识应用、实际问题解决等领域进行研究，相应的也就有了有效语境下的高中数学教学理解. 值得注意的是，很多时候我们对有效教学的理解只停留在结果的有效上，而忽略了概念形成过程中学生的思维是否有效，因此有必要再对概念的有效教学作进一步分析.

下面本文就对数学概念在高中数学教学中的正确引入及其有效教学措施进行一些分析与探讨.

[?] 数学概念怎样引入才有效

数学概念的有效引入方法很多，其中情境化被公认为有效的一种. 问题在于，情境化的策略远远不是创设一个简单的情境那样简单，情境创设中的素材选取整合、情境的呈现、学生对情境的理解等，需要做细致的分析与研究.

高中数学教学中每一个概念都有其知识背景，这种背景既有数学史的，也有生活情境的，因而在概念导入教学过程中，可以结合数学概念的现实模型，创建一些合适的引入情境. 例如，在讲解球、圆锥、圆柱的概念时，由于用简单的平面直观图形难以形成真实的视觉效果，因而可以结合生活中的实例，或者借助于几何画板动画展、教具，给学生以直观、形象的解释；还可以应用学生所熟知的交通运输车轮在路面上的影子、管道的斜截口、行星的运行轨迹等，帮助学生理解椭圆的定义. 当然，这里要注意的是，不是说弄个球或柱体放到讲台上就是情境，而在于根据这些实物将学生的思维引向数学，从数学的角度来看这些物体，用数学语言来描述这些物体的特点；同时让学生寻找数学语言的共同特点与关系，从而为把握一个完整的数学概念奠定基础.

与此类似的还有，为了让学生理解数列知识中的递推思想，我们可以在讲解递推的概念时，使用多米诺骨牌游戏来帮助学生建立递推思想的物质模型：观看或想象多米诺骨牌，第一张骨牌倒下，就会联动地引起第二、第三、第四及剩余所有骨牌的倒下. 以这样的物质模型去理解递推的方法模型，学生就产生了递推概念，会对递推在数学问题解决中的作用有一个鲜明的理解. 同理，在对于周期性概念进行讲授的过程中，可以通过列举生活中常见的周而复始的现象，加深学生对于周期性的理解，如可以列举四季的周期变化、时钟的周期性运作等.

[?] 数学概念怎样讲解才有效

对于数学概念的精确理解，往往关系到数学公式的正确应用. 这种理解往往学生依据原有的知识基础是不够的，一般情况下我们让学生通过自主学习去理解一个概念，生成的往往是一种生活化的、经验化的理解，离真正的数学理解还有一定的距离. 因而，每一个数学概念细节要点的理解离不开教师的讲解，这也是数学概念有效教学的必然选择. 值得强调的是，这种讲授属于布鲁姆所说的“有意义的讲授”，与灌输是两个完全的概念. 那么，什么样的概念解释才是有意义的讲解呢？我们可以通过以下几个例子来理解.

例如，在“线面垂直”的概念讲授过程中，教师在学生自主理解的基础上，要带领学生仔细剖析概念中的每一个词语的应用. “平面外的一条直线与平面内的任意一条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直”，基于这一表述，我们要引导学生注重对其中“任意”一词的分析，让学生理解到其意思是指“平面内的所有直线”、“平面内的每一条直线”，其与“平面内的无数条直线”的意思是不一样的，但这种不同学生往往看不出来，因此需要教师必要的讲授. 再如，在进行函数周期性的概念教学中，要指导学生认真分析“定义域内的任意一个值x”的含义，它是指函数定义域内的所有的x值. 如果在定义域内有一个x0，f（x0+T）≠f（x0），那么T就不是函数f（x）的周期. 又如，在进行“等差数列”概念的讲解过程中，对于“同一个常数”、“第二项”的理解，就十分重要. 如果不存在“同一个常数”，例如4、5、7、9这种数字中，尽管后一项与前一项的差是一个常数，却由于不是同一个常数，而不被列入等差数列的定义范围之内. 类似于这样的概念教学，学生往往能够自主获得一些理解，但这些理解往往是经验性的、不完整的，甚至是不科学的，如果教师不加以讲授，学生就无法发现自己理解的不足，而这会给后面知识的学习埋下隐患，故而必须进行讲授.

另外对于数学概念的生成过程，教师也不能只是进行照本宣科式的讲解，应该启发学生对相应概念的形成过程进行了解，以能够提高学生对数学概念的感性认识，对其理解力和应用能力进一步提高. 例如，在讲授椭圆概念的定义的时候，最好能够引导学生得出“F1和F2是定点，M是F1，F2的距离之和等于定长的动点”等一些结论，那么在学生得出这些结论之后，自然也就可以总结出椭圆的定义. 有兴趣的教师不妨做一个比较试验，看讲授与不讲授会有多大的区别. 根据笔者对所听课的跟踪观察，这种差异与影响是相当大的，如果在概念学习之初就化解这一难题，后面将会少掉许多问题. 我们高中数学教学强调在学生学习概念之初，就要帮助学生形成准确的认识，否则后患无穷.

[?] 数学概念本质怎样凸显才有效

在进行概念教学的过程中，往往会产生由于对概念的理解不准确，而发生概念的混用现象，从数学教学的角度来看，这是因为数学概念的本质没有得到凸显. 针对这种情况，教师可以对同一个概念设定出几个不同的问题形式，以举一反三的思路，加深学生对于不同的理解方式的应用，进而有效地把握准确的概念定义.

例如，在解释椭圆的定义公式的过程中，有学生对于a>c这一条件并不十分注重，导致在练习过程中经常出错. 针对这种情况，教师可以通过设定三个不同的例子，让学生自己加以比较和区分：

①平面上的动点P到两个定点（-4，0），（4，0）的距离之和为6，则P 点的运动轨迹是什么？

②平面上的动点P到两个定点（-4，0），（4，0）的距离之和为8，则P 点的运动轨迹是什么？

③平面上的动点P到两个定点（-4，0），（4，0）的距离之和为10，则P 点的运动轨迹是什么？

通过分析，可以很容易地得出：①当2a<2c时，轨迹不存在；②当2a>2c时，轨迹为椭圆；③当2a=2c时，轨迹为一条线段. 通过这样的练习方式，学生就能够很容易理解a>c这一限定条件.

而一些意义相近的或者容易混淆的概念，则是教师在进行概念教学过程中通常会遇到的另一个令人头疼的问题，因而必须采用有效的措施，才能够让学生更加准确地掌握这些概念，并正确地应用到实际的习题演练过程中. 对于这一问题，笔者采取的思路是让学生在比较中鉴别，在比较中发现问题并解决问题.

例如，对于“不都”、“都不”这两个数学习题中经常出现的条件，教师可以通过使用a与b之间的关系予以说明. “a，b不都为零”等价于三种情况：“a≠0，b≠0；a=0，b≠0；a≠0，b=0”，“a，b‘都不为零”等价于“a≠0，b≠0”；或者可以从反面来证明、比较，以帮助学生认识到错误. 例如，在解x2>16这一不等式过程中，有学生会错误地得出x>±4，此时教师可以从学生的错误之处入手，利用反例来加深学生对二次不等式的理解.

[?] 对高中数学概念有效教学的进一步思考

有效教学经常处于一种简单的理解中，笔者总结此文时也提醒自己不要陷入浅显理解的境地. 笔者所理解的有效不只是有效果，因为无论什么样的概念教学都会有效果，只是效果有大有小而已. 我们所说的有效教学，其实既是指结果的高效，更是指过程的有效. 这里尤其要强调的是过程的有效，而这种有效体现在教学过程上要符合学生的认知特点，要能够以学生喜欢的方式实施包括概念在内的数学知识的教学.

总之，概念教学在高中数学教学工作中具有重要的意义，而有效的概念教学是有效培养学生合理的认知习惯和思维模式，形成良好的学习方法的重要方式. 我们认为，在进行概念教学的过程中，必须根据学生的身心发展特点，合理地选择适合学生认知特点的教学方式，才能够让学生在感悟、探索、应用中真正地掌握数学的概念，形成对于数学本质的科学的认识.