关于高中三角函数的难题解析

许凭翼

摘要：三角函数问题一直是高中数学考察的热点问题。观察近些年的各种考题，不难发现解答题中加大了对三角函数图像和性质的考察力度。通过分析已知函数的图像或者运用三角函数的性质化简已知函数，从而得出问题中三角函数的有关性质以有关图像的变化。这样的考察方式越来越受到命题者的青睐。三角函数和性质这部分知识点，已经成为高中数学常考不衰的热点题型，也是高考的重点知识。本文试图总结三角函数图像的各种类型和解题方法，摸索出高中三角函数的解题规范。

关键词：三角函数；三角函数性质；三角函数图像；高考数学

一 基本知识点

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 的五个点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数 、余弦函数 的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值1；当 时， 取最小值-1；对 ，当 时， 取最大值1，当 时， 取最小值-1。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质列表如下：

定义域 R R

值域

R

周期性

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 上为增函数； 上为减函数（ ）

；上为增函数

上为减函数

（ ）

上为增函数（ ）

4、周期性：① ， 的最小正周期都是2 ；

② 和 的最小正周期都是 。

5、奇偶性与对称性：

（1）正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；

（2）余弦函數 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线 。

注意：垂直于x轴，过最高点或者最低点的直线为正弦或余弦函数的对称轴。

6、单调性：

上单调递增，在 单调递减； 在 上单调递减，在 上单调递增。

特别提醒，别忘了 ！

7、三角形中的有关公式：

（1）内角和定理：在解题过程中，我们要尤其注意到三角形内角和为 ，这一点要切记！

任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.

锐角三角形有以下性质：

1：三个角都是锐角。2：余弦值都是正值。3：两个角的和是钝角。4：任意两边的平方和大于第三边的平方。

（2）正弦定理： （R为三角形外接圆的半径）.

注意：①正弦定理的一些变式：

；

；

；

（3）余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

（4）面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：

（1） 求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性。

注意 相互之间的关系。

（2）一般我们在用正弦、余弦定理求解题目中含有边角混合关系时，首先要边角相互转化。

8、求角的方法：

1：先确定角的范围；

2：求出角的一个三角函数

在求角的三角函数时通常要注意两点（1）所求角的三角函数在角的范围内具有单调性；（2）是根据条件易求出此三角函数值。

二 典型例题

三角函数边角的相互转化问题

1.（浙江文科5）在 中，角 所对的边分 .若 ，则

（A） （B） （C） （D） 1

【答案】D

【解析】∵ ，∴ ，

∴ .

评注：本小题主要考察三角函数和对应边之间的相互转化。在解决此类问题时，首先要清楚题干中给出的条件，然后通过简单的代换和化简即可得出结果。

2.（10全国1卷文1）

（A） （B）- （C） （D）

解：

评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。在解决此类问题时，要熟练的掌握各种诱导公式，然后通过化简得出结果。

3.（10全国I卷理2）记 ，那么

A. B. - C. D. -

解： ，

。故选B

评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

4. （江苏理科）设 为锐角，若 ，则 的值为____.

【答案】 .

【解析】∵ 为锐角，即 ，∴ .

∵ ，∴ .

∴ .

∴

评注：本题的主要考点是：同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数.观察近些年的考题发现，这几种关系每年都会涉及到，在复习的时候一定要引起重视。

5.（浙江理科6）若 ， ， ， ，则

（A） （B） （C） （D）

【答案】C

【解析】∵ ， ，∴ ，又∵ ， ，∴ ，∴ = = = .

参考文献

[1] 王峰.近年来高考中分段函数问题扫描[J].中学数学教学，2009（01）.

[2] 祖飞.几类特殊函数的单调性及应用[J].中学数学，2012（01）.