高中数学与思维的严密性

刘高峰

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）04-0148-01

培养学生逻辑思维能力是高中数学教学的首要任务。而思维的严密性是良好思维品质的一个重要方面，高中数学中经常遇到学生错误解题的思维缺陷，本文谨以一些实例说明思维的严密性在高中数学教学中的重要性。

例：已知集合{1，a，x}={a2，a，ax}，求x、a。

错解：令1=a■x=ax或1=axx=a■分别解得a=1x∈R或a=±1x=0

正确的思维不仅考虑到两组等集合中的元素分别相等，而且集合中的元素满足无序性和互异性，将所得结果作检验只有a=-1，x=0。

例：判断y=x2+（x+1）0的奇偶性。

错解：∵（x+1）0=1

∴y=x2+1，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）

∴y=x2+（x+1）0是偶函数。

正确的思维首先判断函数的定义域是否关于原点对称，事实上x≠-1，函数既非奇函数也非偶函数。

例：求y=sin x■（30■≤X≤60■）的最小值。

错解：∵ 30■≤X≤60■ ， ∴ sin x？酆■？刍0

∴ sin x+■≥■=2 ， 得y的最小值为2。

正确的思维是对“均值定理”中“一正、二定、三相等”三方面条件逐步检验，事实上，在给定的范围内sin x 与■ 不存在相等的情况，因而当用函数单调性解之，得ymin=■ 。

例：一数列的前几项和为sn=2n2+3n+1 ，求其通项公式。

错解： ∵ sn=2n2+3n+1 ， ∴ sn=2（n-1）2+3（n-1）+1

∴ an=sn-sn-1=4n+1

正确的思维应当考虑到sn-1 存在的条件为n≥2 ，故只有当n≥2 时，an=4n+1 ， a1=s1=6不符合上述公式。

例：若loga2？酆logb2 ，比较a与b的大小。

错解：loga2？酆logb2 ， ∴ ■？酆■ ，∴ logab？酆logba ，得b？酆a？酆0 。

正确的思维应虑及1og2■与1og2■ 同号或异号的情况，分类讨论a？酆1？酆b 或1？酆b？酆a 或b？酆a？酆1 。

例：与空间不共面的四个点距离相等的平面有多少个？

错解：四个点不共面，任何三点确定一个平面，另一点向此平面作垂线段，过此线段中点平行于此平面的平面即为所求，因而有C43=4 个。

正确的思维既考虑到分居于平面两侧的3～1情况，又考虑到2～2情况，因而正确的答案应为C43+C42/=7 个平面。

例：已知两点A（-2，-1） 和B（1，1） ，ΔABC的顶点C在曲线xy-y-9=0 上移动，求ΔABC的重点M在轨迹方程。

错解：设M的坐标为（x，y） ，C的坐标为（x0，y0） ，

则x■=3x-1-（-2）=3x+1y■=3y-1-（-1）=3y ，于是（3x+1）·3y-3y-9=0

化简得xy-1=0 为重心M的轨迹方程。

正确的思维应考虑到点C作为ΔABC顶点不能在直线AB上，因而重心也不能在直线AB上，正确的结论应为：重心M的轨迹方程为xy-1=0（y≠-■，且 y≠0）。

例：六个人分成三组，每组两人，有多少不同分法？

错解：分两步完成这个事情：第一步：从6个人中任取2人作为一组，方法数为C62，第二步：从余下4人中任取2人作为一组，余下的2人为另一组，故有C62.C42种分法。

正确的思维要考虑分得的三组没有序号，但分步完成事情的过程却使得组与组之间有了序号上的区别，即同一分法重复了A33 次，因而正确答案为■=15 种。

如上所述，思维的严密性几乎渗透在高中数学解题的方方面面，教学中应强化概念的理解并引导学生有意识地强化严谨性思维习惯的培养。