用二阶行列式求直线一般式方程的探究与应用

赵兴勇

摘 要： 本文探究直线上两点坐标、直线一般式方程中的系数、二阶行列式中元素之间运算关系三者的内在联系，通过计算由点的坐标构成的二阶行列式中元素间的值，直接求出直线一般式方程中的系数，进而求出直线的一般式方程.

关键词： 二阶行列式 直线方程 一般式 坐标

平面解析几何中有这样一类问题“求过平面内两个已知点的直线的一般式方程”.笔者在常规解法的基础上，通过探究直线上两点坐标、直线一般式方程中的系数、二阶行列式中元素之间运算关系三者的内在联系，通过计算由点的坐标构成的二阶行列式中元素间的值，直接求出直线一般式方程中的系数，进而求出直线的一般式方程.应用于解决“过平面内两个已知点的直线的一般式方程”这类问题的过程中，具有直接、便捷、准确、适用之优点.

一、提出问题

先来解决一个课本中的变式探究：

已知直线l经过两点P（x■，y■），Q（x■，y■），求直线l的方程.[1]

分析：x■与x■，y■与y■可能相等也可能不等，此时不能直接用直线的两点式方程■来求，需要对其进行讨论.

解析：（1）当x■=x■时，l：x=x■（或x=x■）；

（2）当y■=y■时，l：y=y■（或y=y■）；

（3）当x■≠x■，y■≠y■时，l：■=■.

通常最后再将（1）、（2）、（3）的结果化为直线的一般式方程.[1]

点评：这种解法要对两点坐标进行讨论，求出其他形式的直线方程，通常最后还要化为直线的一般式方程.显得过于繁琐，而且因素考虑不周容易导致解题的失误.

问题：是否能够避开对两点坐标的讨论、避开用两点式方程来求解，通过两点的坐标直接、简便、快捷、准确地求出直线的一般式方程呢？

二、探究问题

探究1：注意到，对（3）中的■=■变形可得

（y■-y■）x+（x■-x■）y+（x■y■-x■y■）=0（*）

若采用（*）式作为直线的方程，那么（1）、（2）显然也满足（*）式.

令y■-y■=A，x■-x■=B，x■y■-x■y■=C①，则（*）式可变形为：

Bx+By+C=0（A，B不同时为0），即直线的一般式方程.

于是，只需将P，Q两点的坐标代入①式，即可求出直线一般式方程中的系数A，B，C，进而求出直线一般式方程.

用（*）式求解此类题，避免了对P，Q两点坐标关系的讨论；因素考虑不周导致的解题失误；也避免了用其他方式求出的直线方程化为一般式方程带来的麻烦，显得简便、快捷.但①式的规律性不强，不易记忆，容易弄反，弄混淆，故而容易导致解题失误.为此，可以对①式进一步探究.

探究2：分析①式，由x■y■-x■y■可联想到二阶行列式，[2]其正好是二阶行列式的值.此时，可以对二阶行列式进一步探究，使之与系数A，B，C建立起联系.

将P点的横、纵坐标作为二阶行列式的第一行，Q点的横、纵坐标作为行列式的第二行置入二阶行列式a ？摇 bc？摇 d中，可得 x■？摇y■x■？摇 y■②

观察②中的元素，结合直线一般式方程中的系数，发现行列式②的值恰好为系数C；②中的第二列元素上减下为系数A，即y■-y■=A；②中的第一列元素下减上为系数B，即x■-x■=B.

为了更好地表达直线一般式中的系数A，B，C，探究对二阶行列式的定义（一种特定记号）进行延伸.

探究3：二阶行列式定义[2]的延伸

在a ？摇 bc？摇 d中延伸运算：第二列元素上减下，其差记做A；第一列元素下减上，其差记做B；行列式的值（两条对角线上元素的乘积之差）记做C；这种延伸运算可以记做

c-a=B

C=？摇a？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇b↑（一）↓？摇c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇d=ad-bc

b-d=A

三、结论

过两点P（x■，y■），Q（x■，y■）的直线l的一般式方程为Ax+By+C=0（A，B不同时为0），其中A，B，C可用下面的（※）式来求.

x■-x■=B

C=x■？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇y■↑（一）↓x■？摇y■=x■y■-x■y■？摇（※）

y■-y■=A

四、应用

1.“x■=x■或y■=y■”型

例 ：已知直线n经过两点P（2，6），Q（-4，6），求直线n的一般式方程.

解析：将P（2，6）的横、纵坐标作为行列式的第一行，Q（-4，6）的横、纵坐标作为行列式的第二行置入（※）式中得

-4-2=-6=B

C=？摇2？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇6↑（一）↓-4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇6=2×6-（-4）×6=36

6-6=0=A

所以直线n的一般式方程为-6y+36=0，即y-6=0.

2.“x■≠x■，y■≠y■”型

例2：已知直线m经过两点P（2，3），Q（-4，6），求直线m的一般式方程.

解析：将P（2，3）的横、纵坐标作为行列式的第一行，Q（-4，6）的横、纵坐标作为行列式的第二行置入（※）式中得

-4-2=-6=B

C=？摇2？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇3↑（一）↓-4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇6=2×6-（-4）×3=24

3-6=-3=A

所以直线m的一般式方程为-3x-6y+24=0，即x+2y-8=0.

通过探究，用（※）式来求解“过平面内两个已知点的直线的一般式方程”这类问题，坐标与系数的关系规律性很强，且容易理解、容易记忆、容易应用，避免了对两点坐标关系的讨论；避免了因素考虑不周导致的解题失误；避免了用其他方式求出的直线方程化为一般式方程带来的麻烦，其显得直接、简便、快捷、准确、适用，不失为一种行之有效的方法.不仅丰富了数学解题方法，提高了数学应用意识，还说明了数学中各分支的内容并不是孤立的，它们在一定的条件下有着内在联系.

参考文献：

[1]王申怀.数学②必修[M].A版.北京：人民教育出版社，2007：95-98.

[2]李龙才，章建跃.数学选修4-2矩阵与变换[M].A版.北京：人民教育出版社，2007：53-54.