产品供给数量突变供应链协调研究

徐耀群，朱鑫宁

(哈尔滨商业大学管理学院，哈尔滨150028)

引言

常见的供应链契约主要有:批发价格契约、数量折扣契约、收入共享契约等。从目前的研究来看，供应链契约作为实现供应链系统协调或绩效改善的一种重要的方法，在实践应用十分成功。收益共享契约的运用始于影碟租赁行业，Mortimer［1］对收益共享契约在影碟租赁业中进行了实证研究，发现采用收益共享契约可以使供应链利润提高7%。Cachon 和Lariviere［2］证实了当需求随机且与价格相关的条件下，收益共享契约可以实现供应链协调。Giannoccaro 和Pontrandolfo［3］则分析了采用收益共享契约的三级供应链系统的协调问题，认为通过合理地确定契约参数，可以提高供应链效率，增加供应链各成员的利益。在国内，许多学者也对收益共享契约做了大量的研究，扩大了收益共享契约的应用范围。徐广业［4］等考虑了在需求具有价格敏感性条件下，双渠道供应链中的两种协调问题，运用改进德尔收益共享契约模型，实现了双渠道供应链的协调。桑圣举等［5］研究三级供应链中，其成员企业具有风险偏好的收益共享契约设计问题，分析风险偏好对收益系数、批发价格、期望收益的影响。陈菊红和郭福利［6］的研究表明一个风险中性的供应商和一个风险规避的零售商组成的两阶段供应链，在收益共享契约下，双方可以取得更高的利润，可以更好地实现供应链协调。

关于供给量不可靠的研究，Yano 和Lee［7］指出了供给量不可靠的三个重要部分:供给量不可靠对成本的影响、供给比率(供应商实际供货占零售商订购量的比例)的研究、供给量不可靠下对供应商的选择及订货问题。Ciarallo［8］分析了供应商的产能为随机的且与下游的订货量无关的情况下的零售商订货问题，认为零售商的最优订货量不受随机产能的影响。Henig 和Gerchak［9］则考虑了供应商产能随机且与下游零售商的订货量相关时的情形，认为考虑到供给的不可靠性，零售商应该增加订货以促使供应商扩大产能，满足自身的实际需求。Gerchak［10］则研究了在单周期及多周期下，供应商的供货量为零售商订货量的一定比例时的订货决策问题。Li 和Zheng［11］在市场需求不确定且与价格相关的情况下，研究当供应商仅能部分提供零售商所订产品时的定价与订货决策。研究表明，在单周期时，零售商的再订货点与供应商的可靠性(供货率)无关，但在多周期下，供给不可靠时的订货点高于供给可靠时的订货点。Keren［12］在需求不确定下研究供应商不可靠时的订货策略，研究表明，报童模型下供给不可靠时的最优订货量比可靠时的订货量高。

通过对以往文献的分析我们不难发现，有关收益共享契约和供给不可靠方面的研究都比较丰富，但是，以上关于供给不可靠的研究文献都是基于传统的报童订货模型为基础的，与契约协调相结合的比较少，而现有的关于收入分享契约的研究，虽已扩展到了多种供应链的协调之中，但并没有考虑突发事件导致供给数量突变时如何协调的问题。因此，本文尝试将收益共享契约应用于供给数量突变供应链中，试图合理地设计契约以协调供给数量突变下的供应链，以期能对企业的实际运作产生一定的积极意义。

一、问题描述

本文仅考虑包含一个制造商和一个零售商的两阶段供应链系统，两者均为风险中性，制造商以单位成本CS 提供一种单周期的易逝品，假设市场的需求d 是一个随机变量，其概率分布函数和概率密度函数已知，分别为F(x)和f(x)，且已知市场需求d 的期望为μ，方差为σ2，产品的市场价格外生。

在供应链系统中制造商处于主导地位，零售商根据供应商提供的契约进行理性决策，确定最优订货量并向制造商发出订货，由零售商负责货物的销售，零售商的销售成本为CR，制造商从销售收入中提取一定的比例φ;C 为供应链的总费用，即有C=CR +CS;未出售产品的残值由零售商负责回收，并按照预订的收益共享系数进行分配。

交易的过程中，零售商和供应商间的决策过程可以看作是一种主从博弈关系，制造商作为行动的主方首先作出决策，决定收入共享比例φ 以及批发价格w;零售商作为从方，决定订货量q(即生产的数量)。供应链的单位缺货损失为g，双方也按照预订的收益分配系数来共同分担。

令S(q)表示期望销售量，I(q)表示期望库存，L(q)表示短缺函数，ΠR，ΠS，Π 分别表示零售商、供应商和供应链系统的期望收益，则

可以得出产品的期望销售量为:

产品的期望库存为:

I(q)=E［(q－d)+］=q－S(q)

产品的期望缺货为:

L(q)=E［(D－q)+］=μ－S(q)

在这样一种收入共享契约下，供应链中的零售商的期望利润是:

供应商的期望利润是:

整个供应链的期望利润是:

二、常规情况下的供应链协调策略

1.常规情况下集中式供应链的最优供货量

首先对常规情况下集中式供应链中，运用收益共享契约进行协调的问题进行分析，以作为我们后面进行研究时比较的基准。在集中式结构中制造商和零售商隶属于同一个经济实体，此时供应链的期望利润仅取决于供应商的供货量q。

对式(3)求一阶导数，可得到集成式供应链的最优订货量为:

此时，供应链的总利润记为Π*，则知

2.常规情况下分散式供应链的收益共享契约模型

在分散式供应链结构下，制造商和零售商属于不同的经济实体，他们的决策也是相互独立的，因此，集中控制下的系统最优解不能同时保证各个成员企业收益的最优。制造商和零售商之间的决策过程是一个主从对策过程，其中制造商是拥有先动优势的一方，而零售商是跟随者。对该问题采用逆向求解的方法，首先看零售商，其所面临的问题为:在给定契约参数的情况下确定最优订货量，以使自己的利润达到最大化。对于(1)式求q 的一阶导数，可得此时零售商的最优订货量为:

在常规运作条件下，供应商作为契约的制定者，可以灵活的采用不同的收入共享策略，由零售商选择系统最优供货量，并且使其最优利润等于其保留利润，即

具体的可令

联立式(4)、式(6)、式(7)和式(8)可求出最优收益共享策略，供应链获得完全协调。此时的收益共享比例φ 与批发价格w 之间的关系为:

通过以上的分析可知，整条供应链的协调过程如下:供应商可以通过改变批发价以及收益共享参数，这也是供应商唯一可以自己做决策的变量，来控制零售商的批发量。在上面的式子中，从供应商的角度出发，计算出供应商能够获得最大利润时所期望的零售商的最佳订货量，所以，供应商可以通过改变批发价，使得零售商的订货量为自己所期望的利润最大时的订货量，即供应商将批发价设定在某值时，零售商的订货量为其自身期望的最佳订货量，同时零售商也取得了最大利润，由此得到了双赢的局面。

此时供应链的总利润为:Π1=Π*

三、供给数量突变下的供应链协调策略研究

现实中许多事件的发生是不可预测的，很多情况下如自然灾害、机器故障、火灾、罢工等都会引起供应数量的突然变化，这些情况的发生使得收益共享契约的协调功能受到极大的限制。尽管零售商的产品预定量为q，但由于不可靠因素的存在，制造商受到原材料供应以及生产中的各种不确定因素的影响，很有可能最终无法提供预订数量的货物。因此，我们可以假设最终的到货量为λq，其中，0 ＜λ ＜1。在这种情况下，零售商了解到自己的订货无法全部满足，则会寻找新的货源进行补货。我们用i 来表示零售商将货物补充到预定量q 所需的单位成本，那么，此时期望销售量可以表示为:

产品的期望库存为:

产品的期望缺货为:

那么此时供应商的收益可以表示为:

零售商的收益可以表示为:

整个供应链的收益为:

对式子(11)求导并使其等于零，就可以求出此时使得零售商期望收益最大的最优订货量。

满足式子(13)的订购量q 便是供给数量突变时收益共享契约下，零售商期望利润最大的最优订货量。

对式子(12)求导并使其等于零，就可以求出此时使得整个供应链期望收益最大的最优订货量。

在此种条件下，供应商作为契约的制定者，可以调整收入共享契约的参数以使得零售商选择系统最优供货量，从而达到在供给数量发生突变的时候供应链继续协调运行的目的，即

联立式(13)、式(14)和式(15)可求出最优收益共享策略，这时供给数量突变时收益共享契约下零售商的最优订购量与集中式供应链的最优供货量相等。

此时收益共享系数与批发价格之间满足:

满足式子(13)的(w'，φ')便是供给数量突变时的收益共享契约，此时的供应商可以通过调整契约参数的方式，来使得供应链继续协调运作，这样零售商和制造商都可以获得供应数量减少时的最大收益，获得双赢的局面。

命题1:供给数量突变时的收益共享契约中，实现协调的批发价格w 是零售商紧急增加订货时，单位产品处理成本i 的减函数，是供给数量突变比例λ 的增函数。

证明:对式子(16)进行变形，可以得到

容易得到∂w/∂i ＜0，∂w/∂λ ＞0，即供应链取得协调时，零售商处理缺货的的单位成本i 越高，产品的批发价格越低;产品的缺货量越小，产品的批发价格相对也就越高。

命题1 表明，供应商通过降低批发价格的方式来补偿，因为自身供给数量不足而给下游零售商带来的额外损失。下游零售商处理缺货所付出的单位成本越大，批发价格也就越低，但是对于供应商来说也不用一味靠降低批发价格来维持供应链的协调运作，也可以通过其他方式来帮助零售商降低紧急补货的成本以使得批发维持在一个较高的水平，增加自身的利润。同时命题1 也表明，由于供应商自身原因而造成的供货量不足，给零售商带来了额外的处理成本，影响了供应链的协调运作，对于这些额外的成本供应商应该通过降低批发价格的方式来间接地进行分担，以使得供应链重新获得协调。同时也说明供应链应该通过增加自身供应的可靠性，减少供应数量不足发生的可能，以使得自身的正常利润不受影响。

四、算例分析

为了更加直观地说明，此处用一个数值算例对文章的结论作出阐述，分析内容包括供给不可靠对供应商供货量的影响;对零售商订购量及期望利润的影响。假设市场需求D 服从区间为0到200 的均匀分布，即x ～U［0，200］，随机变量x的期望u=100，产品的市场零售价格p = 8，产品的单位销售成本cr = 2，单位生产成本cs =3，单位产品的残值v= 1，产品的缺货成本g =5，当发生缺货时零售商紧急补货的单位成本i=3。

收益共享系数对于批发价格的影响如图1所示，从图中可以看出对于不同的供货水平λ 分别为0.3、0.5、0.7 时，批发价格ω 均随着共享系数的增加而升高，为共享系数的增函数，由于收益共享系数有一定的取值区间，所以，相对的批发价格也存在着一个取值的区间，只要供应商按照前面的协调策略确定自己的批发价格就可以使得供应链协调运作。

此外，从图1 中还可以得知在相同的收益共享系数之下，随着供货可靠性的提高批发价格也呈现出上升的趋势。这与前面命题1 中的分析是一致的，即供给的可靠性影响着供应商的定价决策，如果供给的可靠性比较低，则供应商必须通过降低批发价格的方式给予零售商一定的补偿，促使零售商订货，以维护整个供应链的协调运转。从数值上可以看出当供给不可靠时，供应商的批发价格往往低于生产的成本甚至为负值，其只能从零售商收益共享中获得一定的收益，维持自身的正常运转，从此可以看出提高供给的可靠性对于供应商是十分必要的，也是十分有利的。

表1 供应链成员收益变化表

供给可靠性和供应链订货量之间的关系，可以从图2 中直观地看出来。在图2 中我们可以看出零售商的订货量与供给可靠性并非简单的单调关系，而是先增加后减小的关系。之所以会出现这种情况，是因为当供给的可靠性非常低的时候(λ ＜0.4)，零售商处理缺货的成本高于增加订货量所带来的收益，因此，从自身利益最大化的角度出发零售商会减小自己的供货量，转向其他的供应商来满足顾客的需求。

图1 批发价格曲线图

图2 订货量曲线图

而随着供给可靠性的提高(0.4 ＜λ ＜0.5)，渐渐地零售商可以通过增加订货的方式来弥补缺货所带来的损失，因此，零售商会通过增加订货量，此时可以从图中看出零售商的订货量高于供给正常时的订货量，而且呈现出增加的趋势;而当供给的可靠性继续增加的时候(λ ＞0.5)，供应商慢慢成为了一个可靠的供应源，零售商也就无需再通过增加订货的方式来弥补缺货损失，因此随着供给可靠性的增加订货量也就呈现出来下降的趋势，向正常时的订货水平靠近，当λ =1 的时候与供给正常时的订货水平相等。供给可靠性对于供应链收益的影响，可以从图3 中直观的反映出来，可以看出供应链的整体收益随着供给可靠性的增加而增加。供给可靠性λ 对于供应链来说是非常重要的，当可靠性比较低时，一方面由于缺货会产生缺货损失，另一方面零售商紧急补货也会产生大量的缺货处理费用，此时供应链的收益甚至为负值，这无疑严重影响了供应链的稳定性;而随着供给可靠性的提高，供应链的收益也明显增加，当λ=1 时供应链的收益才达到了正常的供应链收益水平，因此，可以看出提高供给的可靠性无疑是十分必要的。

图3 供应链收益曲线图

表1 给出了λ 取不同数值的时候，零售商以及供应商的收益情况。从表中可以看出，零售商以及供应商的收益均随着供给可靠性的增加而增加，只是在增加的速率上有不同，零售商的收益从43 上升到了65，而供应商的收益从－93 上升到了120，显然供给可靠的增加对于供应商而言更加有利，因此对供应商而言，为了留住自己的客户以及自身的利益，更应该努力提升应对各种不可靠的能力，增加供给的可靠性。

［1］Mortimer J H.The effects of revenue－sharing contracts on welfare in vertically separated markets:evidence from the video rental industry［R］.University of California at Los Angeles working paper，Los Angeles，CA，2000.

［2］CachonG，Lariviere M.Supply Chain coordination with revenue－sharing:strengths and limitations［J］.Management Science，2005，51(1):30－44.

［3］Giannoccaro I，Pontrandolfo P.Supply chain coordination by revenue sharing contracts［J］.International Journal of Production Economics，2004，89:131－139.

［4］徐广业，但 斌，肖 剑.基于改进收益共享契约的双渠道供应链协调研究［J］.中国管理科学，2010，6(4):50－54.

［5］桑圣举，王炬香，杨 阳.具有风险偏好的三级供应链收益共享契约机制［J］.工业工程与管理，2008，(4):19－23.

［6］陈菊红，郭福利.Downside－risk 控制下的供应链收益共享契约设计研究［J］.控制与决策，2009，24(1):122－125.

［7］Yano C A，Lee H L.Lot Sizing with Random Yields:A review［J］.Operation Research，1995，43(2):311－334.

［8］Ciarallo F W，Akella R，Morton T E.A Periodic Review，Production Planning Model with Uncertain Capacity and Uncertain Demand:Optimality of Extended Myopic Policies［J］.Management Science，1994:320－332.

［9］Henig M，Gerchak Y.The Structure of Periodic Review Policies in the Presence of Random Yield［J］.Operation Research，1990，(38):634－643.

［10］Gerchak Y，Vickson R G，Parlar M.Periodic Review Production Models with Variable Yield and Uncertain Demand［J］.IIE Transactions，1988，20(2):144－150.

［11］Li Q，Zheng S.Joint Inventory Replenishment and Pricing Control for Systems with Uncertain Yield and Demand［J］.Operations Research，2006，54(4):696－705.

［12］Keren B.The Single－period Inventory Problem:Extension to Random Yield from the Perspective of the Supply chain［J］.Omega，2009，(37):801－810.

［12］胡东波，黎清高，等.努力水平影响需求的供应链收入共享契约研究［J］.商业研究，2011，(1):63－68.