关于不定方程x3+8=Dy2的整数解

2013-04-13普粉丽

湖北民族大学学报(自然科学版) 2013年3期

关键词：充分条件素数奇数

普粉丽

(普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000)

关于不定方程x3+8=Dy2的整数解

普粉丽

(普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000)

利用初等方法不定方程x3+8=Dy2(x,y∈N)无gcd(x,y)=1的正整数解的一个充分条件.

不定方程；奇素数；正整数解；同余式

关于方程x3+8=Dy2(x,y∈N,D>0，且无平方因子)是一类重要的不定方程，其整数解已有不少人研究过.1981年柯召、孙琦[1]证明了D不能被3或6k+1形的素因子整除时，如果D≡0,2,3(mod 4)，则方程x3+8=Dy2仅有整数解;如果D≡11,19(mod 20)，则方程x3+8=3Dy2无非平凡整数解.1991年，曹玉书[2]给出了D含6k+1型素因子时方程x3+8=Dy2无非平凡整数解的一些充分条件.1992年，曹玉书、黄龙铉[3]给出了D含6k+1型素因子时方程x3+8=Dy2无非平凡整数解的一些充分件.2004年，乐茂华[4]给出了方程x3+8=3py2无gcd(x,y)=1的正整数解的一个充分条件.2010年，韩云娜等[5]给出了D含6k+1型素因子时方程x3+8=3Dy2无非平凡整数解的一些充分条件.2011年，李娜[6]给出了方程x3+8=Dy2无正整数解的一些充分条件.2012年周莉莎[7]给出了方程x3+8=183y2的所有解；同年，霍梦圆[8]给出了方程x3+8=73y2的所有解.本文给出了D含6k+1型素因子时方程x3+8=Dy2无正整数解的一个充分条件.

定理1 设D=D1p，D是无平方因子的正整数，D1是不能被3或6k+1形的素数整除的正整数，D1≡3,7(mod 8),p=3(8k+7)(8k+8)+1是奇素数，k∈N,则不定方程x3+8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解.

证明因为gcd(x,y)=1，故x≡0(mod 2)，所以方程x3+8=Dy2可分解为(x+2)·(x2-2x+4)=Dy2,则gcd(x+2,x2-2x+4)=gcd(x+2,x(x+2)-4x+4)=gcd=(x+2,x(x+2)-4(x+2)+12)=gcd(x+2,12)，而12的正约数有1,2,3,4,6,12，且x≡0(mod 2)，即x+2≡0(mod 2)，故gcd(x+2,x2-2x+4)=1或3.由此可见不定方程x3+8=Dy2可以分解为以下四种情形：

情形Ⅰ：x+2=D1pa2，x2-2x+4=b2,gcd(a,b)=1，y=ab;

情形Ⅱ:x+2=D1a2,x2-2x+4=pb2,gcd(a,b)=1,y=ab;

情形Ⅲ:x+2=3D1pa2,x2-2x+4=3b2,gcd(a,b)=1,y=3ab;

情形Ⅳ:x+2=3D1a2,x2-2x+4=3pb2,gcd(a,b)=1,y=3ab.

对于情形Ⅰ,由x2-2x+4=b2配方得b2-(x-1)2=3，可解得x=2或x=0，把x=2代入x+2=D1pa2，则D1pa2=4，又a2≥0，又D是奇素数D=D1p，D是无平方因子的正整数，D1是不能被3或6k+1形的素数整除的正整数，D1≡3,7(mod 8),p是奇素数p=3(8k+7)(8k+8)+1，k∈N，故不成立，同理把x=0代入x+2=D1pa2也不符合条件.故在情形Ⅰ下不定方程x3+8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解.

对于情形Ⅱ,因为x≡0(mod 2)，则x一定是奇数，那么x+2和x2-2x+4也一定是奇数，又D1≡3,7(mod 8)所以a2≡1(mod 8)，D1a2≡3,7(mod 8)，x=D1a2-2≡1,5(mod 8),则x2-2x+4≡3(mod 8),又p=3(8k+7)(8k+8)+1,则p≡1(mod 8).又b为奇数，则b2≡1(mod 8)，即1≡pb2=x2-2x+4≡3(mod 8)，矛盾，所以在情形Ⅱ下不定方程x3+8=Dy2无x≡0(mod 2)的正整数解.

对于情形Ⅲ，因为a2≡1(mod 8),D1≡3,7(mod 8),p=3(8k+7)(8k+8)+1，则p≡1(mod 8)，所以x+2=3D1pa2≡1,5(mod 8)，所以x≡3,7(mod 8)，则x2-2x+4≡7(mod 8)，又b2≡1(mod 8)，则3b2≡3(mod 8)，故有7≡x2-2x+4=3b2≡3(mod 8)，矛盾，故在情形Ⅲ下不定方程x3+8=Dy2无x≡0(mod 2)的正整数解.

对于情形Ⅳ，因为x≡0(mod 2)，则x一定是奇数，那么x+2和x2-2x+4也一定是奇数，又D1≡3,7(mod 8)，所以a2≡1(mod 8)，3D1a2≡1,5(mod 8)，x=3D1a2-2≡3,7(mod 8)，则x2-2x+4≡7(mod 8)，又p=3(8k+7)(8k+8)+1，则p≡1(mod 8)，又b为奇数，则b2≡1(mod 8)，即3≡3pb2=x2-2x+4≡7(mod 8)，矛盾，所以在情形Ⅳ下不定方程x3+8=Dy2无x≡0(mod 2)的正整数解.

综合可得：不定方程x3+8=Dy2(x,y∈N)在题设条件下无gcd(x,y)=1的正整数解.

[1] 柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±8=Dy2和x3±8=3Dy2[J].四川大学学报:自然科学版，1981(4)：1-5.

[2] 曹玉书.关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J].黑龙江大学学报自然科学学报，1991，8(4)：18-21.

[3] 曹玉书、黄龙铉.关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J].黑龙江大学学报自然科学学报，1992，9(2)：3-5.

[4] 乐茂华.关于Diophantine方程x3+8=3py2[J].宁德师专学报，2004，16(4)：347-349.

[5] 韩云娜，赵春华.关于Diophantine方程x3±8=3Dy2[J].四川理工学院学报：自然科学版，2010，23(2)：156-157.

[6] 李娜.关于Diophantine方程x3±8=Dy2[J].四川理工学院学报：自然科学版，2011，24(5)：593-595.

[7] 周莉莎.关于不定方程x3+8=183y2[J].重庆师范大学学报:自然科学版，2012，11(3)：23-25.

[8] 霍梦圆.关于不定方程x3+8=73y2[J].重庆师范大学学报:自然科学版, 2012,11(3)：18-20.

OnStudyoftheIndefiniteEquationx3+8=Dy2

PU Fen-li

(College of Mathematics and Statistics,Puer University,Puer 665000,China)