图像恢复问题中强度保持技术

郭晓新，许志闻，车翔玖

(1.吉林大学计算机科学与技术学院，长春130012;2.吉林大学 符号计算与知识工程教育部重点实验室，长春130012)

荧光造影术主要用于视网膜机能的生理化验。虽然各种非侵害技术已被用于跟踪视网膜疾病的发展变化，但只有荧光造影术在糖尿病等与循环系统调节机制有关的疾病研究中显示出了巨大的应用前景。在荧光染料注入静脉后经过一个短暂间隔，使用扫描激光检眼镜记录荧光造影图像。造影图像能记录荧光染料的流动过程和荧光强度的变化过程。一般情况下，荧光强度随时间的推移不变地变化，从动脉中可见的浓度非常低的荧光染料，到完全充满动脉，再到完全充满静脉，直到荧光染料在血管中完全耗尽。在眼底血管的动脉和静脉中会分别出现两个荧光强度峰值。两个峰值之间的间隔相对较短;而大部分时间是处在染料尚未到达或已经耗尽的阶段。在这种情况下，染料没有到达或已经耗尽的位置上血管会显得很暗，并且难以辨认。

考虑到荧光造影图像的特定需求，我们主要针对噪声抑止提出了能够实现强度保持的自适应滤波器，以及改进的图像恢复方案。为了在恢复图像中保持荧光强度，以便进行医疗分析和诊断，我们提出的改进方案在传统的图像恢复最小化问题上增加了一个新约束，称为强度约束。我们通过定义一个称为强度模板的常矢量指导最小化过程达到所期望的目标。这一目标就是强度保持。为此，我们对双向滤波器进行了扩展，以便使其在滤波过程中可实现强度保持的要求。扩展的双向滤波器除了抑制噪声之外，还能提供用于恢复过程的强度模板。实验给出了具有不同正则化参数的强度约束之间的比较。结果表明，该恢复方案在强度保持方面具有较好的实用性和鲁棒性。

1 强度保持的图像恢复方案

1.1 强度保持模型

表示像素成像问题的图像恢复代数模型如下:

其中f为原始的未失真图像，g为失真图像，失真算子A是已知的或者是易于识别的，该算子包含了形变、二次采样和模糊效果。n为噪声。

因为式(1)中所表示的逆问题是病态的，求解方法必须进行正则化，以获得具有实际意义的解。为此，恢复的图像应该满足下列条件:自适应性和确定性约束，以实现抑止噪声和减小振铃的效果［1，2］。自适应性约束为:

其中S是一个对角加权矩阵，它根据局部特性控制复原过程。另一个自适应性约束为:

此外，我们针对荧光造影图像增加了一个新的约束，即强度约束。如前所述，由于大部分荧光造影图像灰度低，并易受到噪声干扰，因此较暗的帧不能作为可靠的数据进行分析，它们的信息从而变得相对次要。反之，较亮的帧应成为分析的主要对象。因此，恢复之后的结果图像应能保持医生感兴趣的高强度像素，并应减少或消除在同一空间位置上低强度像素对高强度像素的影响。因此，考虑到上述理由，下列关于荧光强度的正则化约束便是一种更为直观合理的选择。

除式(2)～(4)之外，恢复图像还应满足约束C，它代表关于原始图像f的某种确定的先验信息。P表示投影到由C所描述的封闭凸集上的运算。

为计算满足上述条件的解，根据确定性约束C计算下面的最小化问题，其中约束C不包括式(4)中的约束:

其中正则化参数γ=(δ/E)2为固定值。参数γ和α用于调整光滑性、数据忠实度和强度保持三者的关系。γ能够控制并调整强度约束与相似性约束之间的强度对比。当γ=0时，结果图像简化为没有强度约束的Miller正则化公式的直接恢复。

1.2 改进的双向滤波器

为了实现恢复图像的强度保持，我们将传统的双向滤波器扩展到空间强度卷积上，得到更具一般性的双向滤波器。这一扩展的双向滤波器将作为强度保持滤波器用于造影图像的图像恢复中。传统的双向滤波器在邻域内执行加权平均。为了能够使用除Gaussian滤波器之外的其它卷积核，我们进行了如下改进:1)用关键像素的灰度级代替中心像素;2)为支撑域和强度范围滤波提供其它可能的卷积核。在改进的双向滤波器中，空间和光度差权值变为:

其中xI是关键像素的坐标，对关键像素的指定可以反映出滤波器滤波之后希望保留的信号; w(x，σ)为非负函数，它在|x|≤σ区域内严格单调递减，而在|x|＞σ区域内为非递增函数。

通过允许定义关键像素g(xI)，双向滤波器具有了控制输出的能力。当系数为wr的滤波器为脉冲滤波器时，其结果是预定义的关键像素g(xI)。选择关键像素的过程被认为是一个预滤波过程。当根据特定的需求设计所希望的g(xI)时，可以利用这一属性达到控制输出的目的。如果改变了关键像素，实际上也改变了权值分布的中心。因此，关键像素的使用使双向滤波器能够更灵活地产生一个受控输出。在荧光造影图像序列中，为了达到抑制噪声和防止高强度像素退化这两个目标，可以使用集函数中的求最大值函数定义关键像素:

其中max{·}为求最大值运算。通过定义可以看到，滤波后会有更多的高强度值被保留。经过适当的插值，从估算矢量可获得强度模板，这一模板将被用于式(5)中。

改进的双向滤波器为自适应调整提供了一些可能性。下列因素加强了这一滤波器的灵活性和通用性:①参数σd和σr控制权值的分布和运动补偿的能力;②关键像素确定了权值分布的中心，并定义了所期望的输出值;③三维支撑域Ω用于限制处理窗口的大小。双向滤波器的灵活性和通用性与我们对滤波器的扩展和改进密切相关。由上面的特征可以看出，改进的双向滤波器既可以成为距离加权滤波器，也可以成为光度差加权滤波器(由参数σd和σr控制);既可以成为线性滤波器，也可以成为非线性滤波器(由关键像素的选择确定);既可以成为空间滤波器，也可以成为时间滤波器(由三维支撑域Ω在每一维上的窗口大小确定)。

2 算法实现

下面将使用Q阶收敛算法的迭代求解方法计算等式(5)中的最小化问题。

Singh等［3］首先提出了具有二次收敛率的迭代复原技术，Castleman［4］对该方法进行了进一步的扩展，使它成为一个具有Q阶收敛率(Q=2，3)的正则化迭代图像复原算法。考虑式(5)中的函数Φ)最小化问题。该问题的解可表示为

经整理，可将其写为

其中β≠0，算子B0被定义为

如果矩阵I－B0的逆不存在，或者求逆过程的计算极为耗时，可以通过包含Q0项(Q0≥2)的Taylor展开式逼近式(10)中的

再利用下式进行逼近:

通过联合式(10)和式(12)消去β(ATSg+ γU)项，得到

通过定义B1=得到

式(5)与式(10)具有相同的形式。因此无限地重复上述过程便得到Q阶收敛算法。

3 实验和结果

使用真实图像对使用Q阶收敛算法的图像恢复方案进行实验，以测试图像恢复与强度保持的效果作比较，式(5)的最小化方法在不同正则化参数γ的条件下恢复了图像。二维Laplacian滤波器［5］作为高通滤波器L，光滑约束的正则化参数α设为0.01。参数β=1.9，Q=4，S、V、U取单位矩阵。

使用的采样数据以视频血管造影图像为数据源。从扫描激光检眼镜(SLO)获取的视频血管造影图像被同步地数字化，并用NTSC视频标准运行的视频捕捉卡以30帧/s的速度被无压缩地存储。图1(a)和(d)分别显示了两个造影序列中的原始图像片段(128×128像素分辨率)。恢复结果如图1所示。图1(b)和(c)分别显示了γ =0和γ=1时，第一组造影序列恢复的结果;图1 (e)和(f)分别是γ=0和γ=1时，第二组造影序列恢复的结果。

图1 实验结果Fig.1 The experimental results

由图1(b)和(e)可以看出，当用于恢复所需的帧数增加时，使用Miller正则化方法(即γ=0)进行恢复的结果中，图像强度发生相当大程度的退化。引起这一现象的原因主要是由于沿时间轴的图像强度不是恒定的，即非时间均匀的。在大部分时间内，荧光强度很暗。在恢复过程中，随着帧数的增加，强度不可避免地被更多“暗”帧影响，如果使用过多的帧，甚至会出现明显的退化。相反，视觉观察表明，带有强度约束的恢复在高强度保持方面明显优于直接的恢复方法。此外，我们在噪声抑止方面与直接的恢复方法进行了比较，并产生了满意的结果。

在不同的恢复图像中，定量地测量了PSNR和MGLR，其结果如表 1所示。当 α增加时，MGLR增加，而PSNR减小。这意味着保持强度免受退化影响的能力在增加，而抑制噪声的能力却在减弱。增强图像越接近所期望的强度模板，控制相似性约束和光滑性约束的能力越弱。因为将正则化参数α设为固定值(α=0.01)，所以，α的控制能力不予讨论。当γ接近于零时，情形正好相反。从表1可以看出，该方法在图像恢复方面具有与直接恢复方法一样满意的效果，而在强度保持方面显示出良好的适用性和鲁棒性。

表1 恢复图像在不同正则化参数γ下的PSNR和MGLR的实验结果Table 1 The experimental results of PSNR and MGLR for the restored image with different regularization parameterγ

4 结束语

本文对图像恢复问题中强度保持技术进行了研究。该方案是图像恢复思想在荧光造影图像这一医疗成像领域中的应用，它扩展了图像恢复的应用范围;另一方面，我们所提出的强度约束是一个新颖的可用于强度保持的正则化约束，它丰富了正则化约束的内容。另外，强度保持的思想可进一步应用到光照明显变化的图像恢复中。而我们提出的模型为这一思想的实现奠定了基础。实验表明，我们提出的方案在高强度保持和图像恢复两方面都获得了较好的结果。

［1］Biemond J，Lagendijk R L.Regularized iterative image restoration in a weighted hilbert space［C］// ICASSP'86.1986:1485－1488.

［2］Lagendijk R L，Biemond J，Boekee D E.Regularized iterative image restoration with ringing reduction［J］. IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Processing，1987，36(12):1874－1888.

［3］Singh S，Tandon SN，Gupta H M.An iterative restoration technique［J］.Signal Processing，1986，11(1):1－11.

［4］Castleman K R.Digital Image Processing［M］.Upper Saddle River，New Jersey:Prentice Hall International，Inc，1998:64－65.

［5］Miller K.Least－squares method for ill－posed problems with a prescribed bound［C］//SIAM J Math Anal. 1970:52－74.