算法化视角下中学数学教学内容的知识分析

2013-04-11徐章韬

数学教育学报 2013年2期

徐章韬，陈矛

（1．华中师范大学数学与统计学院，湖北武汉 430079；2．华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心，湖北武汉 430079）

1 引言

实验、理论和计算是科学研究的3大手段．实验是发现、验证理论正确与否的重要手段，同样的，计算不仅仅只是作为验证理论模型的正确性的手段，大量的事例表明它已经成为重大科学发现的一种重要手段[1]．为了保证计算的合理性，计算的有效性，必须充分理解算理和算法之间的内在关系．算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了可行的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的．如，阿基米德的计算几何量的算法，既有计算方法，又有严谨的算理．M·克莱因曾指出：“一切有次序的形式运算归根结底都是一种算法．特别来说，字母运算是一种算法．我们一再强调，算法在科学发展过程中一直起着极为重要的作用．它作为半独立的力量，由公式本身的规律推动其前进，并不取决于数学家的意图和认识，甚至往往相反．在无穷小分析初创时期，正如我们以后将看到的，算法往往强行推出新概念和新运算，后来才被人们所公认．甚至在数学发展水平到了很高的阶段时，算法研究还能起到很有效的作用，而且事实上也是如此，所以我们有理由称其为数学发展的基干．”[2]现代意义上的算法，不仅仅限于数值计算，通常是指可用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确的和有效的，经过有限步骤后能完成．作为体现时代特点的算法已经成为中学数学的重要教学内容．算法具有多种教育价值[3]，算法学习的最高境界是具有算法化的眼光．诚如弗赖登塔尔所说，学生学习数学是再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象……算法化而不是算法[4]．顾泠沅先生指出，就数学学科本身的特点来说，中西方的差别也非常值得注意，这对建立中国特色教育理论不可或缺．……吴先生所说的两种思维各具特色，一直发展到当代公理化与算法化的两大分野．两种思维、两大分野的融会，也许能为数学教育新体系的建立提供思路．内容是把数学课程与其它学科课程区别开来的决定因素，因此对内容及其变化的研究应该成为数学课堂教学研究不容忽视的一个方面[5]．具有算法化的眼光，学会从算法化和算理化的角度解读中学数学教学内容，作深入的知识分析，有助于理解数学之两翼的算法和演绎之间的辩证关系，有助于获得对数学知识的深层理解，拓展数学学科知识，获得较高的观点．如，通过算理与算法并重；注重算法和算理的探索过程；注重算法多样化、优化和通性通法的归纳，可以改进计算的教学，发展学生的运算能力[6]．下面分别从算法化和算理化的视角解读中学数学教学内容，打开教学内容中所蕴藏的深刻内涵，体会数学的内在本质特征，并期望这种知识分析的工作能为教师深层次地把握学科内容的特点、解读教材提供概念框架，为教师的专业发展提供底层的技术支持，发展教师面向教学的数学知识．

2 知识分析的案例

一部数学发生、发展的历史，就是以逻辑为基础的演绎证明体系与算理算法为基础的运算体系互为影响、互为补充、各领风骚和反复消长的历史．中国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的公理化演绎体系正好遥遥相对．随着计算机的广泛应用和进一步地发展以及数学研究对象的不断扩大，算理和算法的重要意义将日益显现出来．要求学生具有算理化法和算法化的思维模式理应是数学教育的重要目标之一．

2.1 算法化

有条理地思考和行动，能构造性地解决问题，问题的解决策略最好能筑基已解决的问题之上，拾级而上．

作为计算核心的算法，是现代数学的某本概念之一．算法是算理外显于行为的、具体的、有序的活动步骤及操作过程．算法化是指具有算法的思维方式，能按算法的要求有条理、符合逻辑地思维和行动，具有把复杂问题的解决转化成一系列有序的、有限的、前后相依的步骤的意识和能力．

案例1 代数问题解决中有序的思维方式

在解决有关无理数的问题时，人们习惯于构造有理数数列逼近无理数；在无理式与有理式的转化中，还形成了一句脍炙人口的口诀“分子有理化、分母有理化”，分式问题整式化；在解决无理式与有理式的转化中，人们总是设法化“无理”为“有理”，具体地可以是两边平方法、换元法、讨论法、图象法等．在解决某些特殊类型的超越方程、不等式时，人们总是设法化“超越”为“平常”，即分别把超越方程化为代数方程，超越不等式化为代数不等式，自然地，在转化过程中要注意转化的等价性和简洁性，具体的做法可以是利用函数的单调性、换元法等．反三角函数与三角函数是一对互逆的概念，人们对三角函数研究得更为透彻些，更为熟悉些，在解决反三角函数问题时总是三角化．这些近乎是一套基本的程式，需要深刻领会，注重“基本套路”才是好数学教学[7]．

诚如李文林先生所说，所谓算法，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际和科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法……它们是一种归纳思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何演绎风格迥然不同而又相辅相成[8]．用算法化的眼光看待上述种种做法，就可以归结为两个字：化归！“化繁为简”“化难为易”，就是化归这种基本思想方法所生成的策略．这样，就能理解数学科学展开的逻辑、问题解决的逻辑和教材编写的逻辑了．知识可以编织成有序的思维链条，后面的知识是前面知识的拓展与演化，解决有关新知识问题的方法其实就蕴含在旧知识中，关键是要找到进退之法，故可以“以旧促进”“化新为旧”．夯实旧知识、吃透旧知识，寻求新知转化为旧知的畅通渠道，机械化路径，就是日常教学的重要任务之一．当新知识成了旧知识时，发展便产生了．

案例2 运算规则中有序的思维方式

各种运算的优先级别是不一样的．乘、除的运算级别是高于加减运算的．在算术中，一般是先乘除后加减．乘方、开方的运算级别是高于乘、除运算的．非、且、或的运算级别逐渐降低．高级别的运算转化为低级别的运算有助于理解运算的可行性．如，利用对数的运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算分别转化为对数的加、减、乘、除运算．这样，不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性，有以简驭繁之效．同样的，幂的乘积运算可转化为指数的加法运算，幂的乘方运算可转化为指数的乘法运算．这些都体现了运算的可降级性．推而广之，空间问题总可转化为平面问题解决，高维问题总可转化为低维问题解决．这是运算规则中内蕴的思想方法的活化应用．

在同级运算中，可用正运算定义逆运算，这体现了算法体系的和谐性．减法是这样定义的：减去一个数等于加上这个数的相反数；除法是这样定义的：除以一个数等于乘以这个数的倒数．对数运算是指数运算的逆运算，这些互逆的运算都可统一为基于运算的可逆性，挖掘其中的思想火花，人们还形成了一种名为“正难则反”的解题策略，反证法就是其中一种策略性方法．

数学具有逐级抽象的特点，不仅要注重具体的算法，更重要的是要寻求通性通法，归纳出更加抽象、更加综合、更加一般化的算法．如群、环、域等抽象代数概念的发展，不管参与具体运算的元素为何物，只是研究由运算法则表达出来的抽象结构，开辟了全新研究领域和思维方式．代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心．如按结构的观点，在某种意义下，加法和乘法是同构的，减法与除法是同构的．这样，等差数列的研究方法及有关结论，完全可以类比到等比数列中去．这种舍弃对象本身属性，只关注其中的代数运算本身的性质的观点，使得中学数学研究对象——数（或向量）、式、方程、不等式、集合（或命题）、函数、图形间有内在渊源了（数集间建立映射后可建立函数关系式，有些函数关系式可用解析式表达，也可用图形表达，解析式取零值时，便成了方程，解析式何时取正值、取负值的问题便是不等式问题）．这样针对不同的对象，可以“大胆猜想，小心求证”，类比得到一些结论和做法．这对教学及教学观念的革新是有益的，数学注重“一招一式”，但不崇尚“一招一式”，追求普遍性、统一性和结构化是数学的本性使然．算法化的眼光使研究者超越具体而走向一般，走向结构整体．

案例3 演绎的几何也能以算代证并更具操作性

笛卡尔曾指出，“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为方程组，化为代数方程组，代数方程组化为一个方程，这一个方程我们就能解决．”基于这样一种宏图，一种不同于欧氏几何的几何诞生了．在平面上建立了直角坐标系之后，就可从方程的角度研究曲线的性质了；建立有关标架后，向量就是研究几何图形性质的有力武器了．不用标架，不用坐标系，张景中院士的面积法也是研究平面几何的利器之一．没有计算方法的介入，几何行之不远．在历史上，自代数从几何的束缚下解脱出来之后，不仅代数学获得了长足的发展，也促进了几何学的发展．相较于演绎法，人们更习惯于以数解形，以算代证，虽然反过来，可以以形促数，为数配形，使数更形象，更生动．

在小学，学生常常为各式各样的算术应用题而头疼；在初中，常常为形形色色的几何证明而烦恼．当有方程之后，算术应用题的解法困难不攻自破了，当用代数的方法研究几何之后，平面几何证明的学习困难迎刃而解了．这里并不是说方程、代数的思维量更小些，而是说算法较演绎更具有操作性，算法使高深的科学走下神坛，面向普通的学生．希尔伯特的《几何基础》是现代公理化方法的开山之作，较之欧氏几何更严谨，在其中曾给出了一类几何问题的机械化解题方法．有学者认为，算法体现出来的逻辑化特点是继形式逻辑和数理逻辑之后逻辑学发展的第三个阶段．逻辑的特点是前后有序，如果逻辑的每一步具体可执行，逻辑就可以机械的执行，就成了算法了．演绎是从一些命题出发，按一定规则推演新的命题的过程；计算也不外乎是按一定的算法，从一些数、函数、命题等出发，按一定的规则得出新的数、函数、命题等的过程．在某种意义，计算也可以看作演绎，故而可以以算代证．这样，寻找芜杂中有序的思维模式，寻求研究方法的革新就是数学发展的一种进化方向了．

算法采用有限递归构造和有限非递归构造的问题解决策略，算法的每一步做什么具体而明确，前一步和后一步之间有内在逻辑关联，不可随便倒置．算法化的思维要求人们能有条理地思考和行动，要求人们能精心谋划，能构造性地解决问题，问题的解决策略最好能筑基已解决的问题之上，一步一个脚印，拾级而上．这些是富于教育意义的，是培养心性、养成缜密思考方式的极好素材．

2.2 算理化

行动和思想同源同构，行动可以有序机械地实施，思想亦然，有序而自由地思考是数学教学的追求．

算理是算法的思维本质，算法是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤．教学实践表明，学生即使不明算理，也能学会算法．但是只知“列方程解算术题”、“建直角坐标系，用向量法解立体几何题”并不是学习方程、向量的初衷．没有对方程、向量等基本概念的深刻理解，不能认识到方程、向量概念引入之于数学的重要意义，虽能熟练操作，却不能改进这些算法，并在此基础上提出新的算法，也不能算学到了真功夫．理解远不止于会计算[9]．明算理，识算理乃是第一位的．前苏联心理学家列昂节夫指出，内部活动与外部活动并不分离，内部活动和外部活动具有共同的结构[10]．内部心智活动外显于一系列由操作组成的行动．真正地从算法化的视角对中学数学教学内容作深度知识分析，还应能深入到算理化的层面．

案例4 代数系统的扩张

带有运算的集合叫代数系统．代数系统的基本通性就是努力保持其所具有的运算律，这是一条基本原则．如，在数系的屡次扩张中，起内在突出作用的是运算的封闭性．整数对除法的不封闭导致有理数的出现，有理数对开方的不封闭导致无理数的出现，正数对减法的不封闭导致负数的出现．负数不能开平方问题导致虚数的问现．由于虚数的出现，解决了n次多项式根的存在性问题，无需再扩大数系．又如，在指数概念的推广中，为了保留正整数指数幂的运算性质，逐步形成了零指数幂、负整数幂、分数指数幂的概念．在扩大研究对象的同时，要尽可能多地保留原有的运算律，这是推广数学概念的一个基本原则．

任何事物都有两面性．作为代数系统核心的运算律也是如此．各种运算律都是对偶地出现的．如：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，这是人皆共知的常识．从运算律的互逆性上生发新概念是一种常见的方法．如，已知底数和指数，求幂的运算就是指数运算，反之，已知底数和幂，求指数的运算就是指数运算的逆运算——对数运算．那么什么叫对数呢？这时，矛盾聚集在指数上，给其一个新名称——对数．这正如在 MAB= 中，A叫被乘数，B叫乘数；而在，A≠0中，A叫除数，B叫商．道理是相通的．用这样的方式讲授新概念的发生，破除了数学知识的神秘感，使学生感受到了新知识生发于旧知识中，也起到以旧促新的作用．反函数的出现，补集的出现，命题的否定，负矢量的出现，无一不是追求运算律互逆的结果．更进一步，还可以发展到对偶的概念，通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构．正弦和余弦是对偶的，正切和余切是对偶的，射影几何中的笛沙格定理指出点与直线是对偶的．利用对偶性，可使复杂的问题变得条理清楚，脉络分明，能化难为易、化繁为简．

张奠宙先生曾指出，数学不仅要讲推理，更要讲道理．推理，就是演绎，一步一步的；道理，则是推理后面的理由、理据．说理不一定非得以演绎的方式进行[11]．算法是可以机械式地执行，之所以如此，是由于算理被封装了，算理和使用者之间不用直接接触，故而，人们可以有口无心地诵读“不管三七二十一”，而不必知道加法公理．然而，华罗庚先生在强调计算的同时，也强调“思想”对于学习和研究数学的重要性．他认为技术与思想是数学的两个重要侧重方面，后者应该较前者更重要[12]．数学课需不需要讲授之法，研究者认为是需要的，这些根本之算理需要讲授，这些“做”数学的基本法子，需要有条理、深入浅出地阐述出来．

案例5 数学对象之间的关联

数学对象的不扩大，出现了一些新的研究领域和新的研究对象．对每个具体的研究对象而言，还具有一些新的运算律，一些新的概念相应于新的运算律而产生了．如，集合具有交、并、补3种运算律，命题具有或、且、非3种运算律，这些都不同于数的运算律，但又有类似的地方．“并”运算类似于“加法”，“补”运算类似于“减法”．在运算律的基础上形成了交集、并集、或命题、且命题、非命题等一系列概念．又如，函数也具有加、减、乘、除等常见的四则运算，但仅这4种运算还不能构造一些函数，如 y = 2x+1，等等．这个函数并不是一个指数函数，它是函数的函数，是 u =x+1与y = 2u复合而成的函数．此复合函数遵循的是另外一种运算——复合运算．不管它遵循什么样的运算律，归根到底，还不失函数的三大要素，理解复合运算律就应从这3方面着手，并且还要对复合的过程逐层有序地分解，还其本来面目．数学虽然枝桠纵横，但在扩张过程中还保持了算理的内在一致性．

另外，用任何对象都遵循一定的算理这个观点来看待图形（或图象）的各种变换，使人们的眼界为之一亮．图形（或图象）的各种变换事实上也是一种运算．如：对称变换、平移变换是合同（全等）变换，伸缩变换是相似变换．各种变换还可以复合．实数集与直线上的点集同构，都是有序、连续结构，点可变换成线，线可变换成面，面可变换成体．这时，“数”与“形”还有本质的区别吗？没有！有消元法，就有消点法；有面积法，就有行列式法．数与形可以结合，可以对等！当初笛卡尔的指导思想是建立一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来．舍弃具体对象的具体属性，仅保留运算律，各种数学对象就可以统一起来了．如，拓扑学家眼中的正方形和圆就没有什么区别，它们可以变来变去．这样，代数获得了不同的形式，几何也用获得了不同形式，正如可以用方程研究曲线，也可以用矩阵来研究变换，用群论来研究对称．其中的道理是一样的：用代数的方法研究几何．

迁移是教育心理学中的一个重要概念，原有知识的可利用性、新旧知识的可辨别性是影响学习迁移的认知结构变量[13]．知识分析的目的就是要分析新旧之间的异同点及内在统一性，能让学生在不同对象之间实现有序的迁移．平行迁移，平行推广是容易的，难的是纵深推广，纵向迁移．康德曾言，数学的本质在于自由．这让初学数学的人有点望而生畏，数学就是“两耳不闻窗外事”的数学家苦心孤诣的形式结果？明算理，就知道数学虽然有自由创造的一方面，但却也不是天马行空．有时，自由的思想，如混沌现象一样，在浅层次上是杂乱芜杂的，但在高一层次看，却是有章可循的．明算理的目标之一，就是要让思想、行为更加有序、更加有条理．现在，探究性学习这样一种拟科学研究的学习方式进入了课堂，然则如何探究，如何有序的探究，体现有序而自由的思想，却是需要进行教育教学研究的．“导而弗牵”等教育性理念虽有启发意义，但还不能转化为具体的教学措施，需要在教学实践中发展具体性的技法．

3 知识分析的教育意蕴

对任何一门学科而言，存在相互联系的3种意义：文本作者的原意；文本本身的意义；读者领悟的意义[14]．与此相对就有3种人：知识的“生产者”，即数学家；知识的“传播者”，即教师；知识的“接受者”，即学生．学生能否领悟数学家的原意，取决于传播者是否完全无误地再现了文本作者的原意，接受者是否反复体味了文本本身的原意．其中，教师对文本所作的知识分析对学生的影响是至关重要的．诚如 Lehrer所说，认知源于连贯性、接受性及真实性（合理性）的完美组合[15]．从算法化的视角分析中学数学教学内容，旨在沟通不同分支的数学之间的内在联系，内在关联性，看到数学内在和谐性，这曾经是法国布尔巴基学派的宏伟主张．在教学上，这种主张就是要求学生能够学会有序地纵横联想，如，圆的性质能否推广到椭圆？方程和不等式之间的异同点在何处？平面上的结论能否推广到空间等．从算法化的视角分析中学数学教学内容，旨在使学生看到新旧之间有内在联系，把新知识筑基于旧知识之上，找到认知的固着点，增强知识的可接受性．从算法化的视角分析中学数学教学内容，旨在使学生看到数学发展、成长之路径的合理性，虽有时是在意料之外，细细想来却着实在情理之中，如虚数的产生，等等．

北京大学老校长蔡元培早在1918年北大开学典礼上就曾倡言：“大学为纯粹研究学问之机关，不可视为养成资格之所，不可视为贩卖知识之所．”教学即是研究，而非现成知识技能的传递与训练．作为学科教师的立身之基，首要的是基于自己经验和知识对所教学科之“学科知识”进行再研究．但在目前，一提到教师培训、业务研讨，大家想到的都是数学教育的理念，数学教学的方法，而数学教学学科知识本身则受到冷落[16]．其实，对所教学科的深刻与灵活的理解是教师的基本功．对学科内容、学科本质以及学生应该学习哪些重要内容的深刻理解，决定着教学目标的取舍、教材及教学策略的选取、学生评价的内容与方法，直接影响着教师的教学实践．研究者曾经表述过这样的观点，教育理念不一定外在于学科知识，学科知识也可以产生教育上的见解[17]．陶行知先生也曾指出，“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识方才可以接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机体部分，即‘接知如接技’．”新旧知识间该如何“嫁接”，如何对学科知识作深度知识分析？这样的分析棱镜该取自哪个学科？求人不如求己，向学科本身“挖潜”应该是一条路子，希望通过基于学科根本特点的知识分析有助于教师摆脱知识表层意义的获得，使教师获得有关知识的深层意义，获得教育教学上的见解，从而改进教学．

[1] 韩正之．通向完美的桥梁——数学方法论[M]．上海：上海交通大学出版社，2006．

[2] M·克莱因．古今数学思想[M]．张里京译．上海：上海科学技术出版社，2009．

[3] 李建华．算法及其教育价值[J]．数学教育学报，2004，13（4）：46-47．

[4] 弗赖登塔尔．数学教育再探[M]．刘意竹，杨刚译．上海：上海教育出版社，1999．

[5] 黄荣金，李业平．数学课堂教学研究[M]．上海：上海教育出版社，2012．

[6] 徐彦辉．论数学计算及其教学[J]．数学教育学报，2011，20（4）：19-22．

[7] 章建跃．注重“基本套路”才是好数学教学[J]．中小学数学，2012，（3）：49．

[8] 李文林．数学史概论[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[9] 原登慧，李俊[J]．理解远不止于会计算[J]．数学教育学报，2011，20（1）：55-57．

[10] 阿·尼·列昂节夫．活动·意识·个性[M]．上海：上海教育出版社，1999．

[11] 曹广福，叶瑞芬．例论非数学专业同样需要数学思想[J]．数学教育学报，2009，18（3）：1-3．

[12] 徐利治口述．20世纪中国科学口述史：徐利治访谈录[M]．袁向东，郭金海访谈整理．长沙：湖南教育出版社，2009．